Викия

Математика

Геометрия треугольника

Страница категории

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.


УДК: 544.131

Светлой памяти

Дмитрия Григорьевича Рябова,

учителя математики Базковской средней школы

Ростовской области

 

ОБ ОДНОМ ИЗ ПРИНЦИПОВ

ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

 

0. Классической теореме Пифагора более 2500 лет. 25 веков развития математики, прошедшие со времени доказательства теоремы, существенно дополнили её суть: было найдено, что эта теорема справедлива не только для плоских и трёхмерных пространств, но и вообще для n-мерных и бесконечномерных пространств. Тем не менее, во всех случаях формулировка вариантов классической теоремы Пифагора неизменно опирается на квадраты некоторых линейных величин. Между тем, существует возможность углубить содержание классической теоремы Пифагора путём введения в её формулировку величин, имеющих степени, отличающиеся не только от второй, но и вообще от целочисленных значений. Предлагаемые заметки продиктованы  желанием обратить внимание читателя на классическую теорему Пифагора с этой точки зрения.

 

1. Пусть имеется совокупность N, состоящая из набора конечного числа n' ('n' > 1)    случайно выбранных вещественных положительных чисел (элементов, параметров) а1'1', 'a'2'1',an'и  некоторого произвольно выбранного числа Аm'1 ( > 'A'm'1' > 0)  и пусть эта совокупность N'  отвечает требованию (1):

 

∞  > 'A'm''> 'a'n'1' >= 'a'('n'-'1)1 '>= … >=  'a'2'1' >= 'a'1'1' > 0,         (1)                                            

 

Для краткости эту совокупность (1) чисел (элементов, параметров)  условимся обозначать прямоугольными скобками (2), где индекс n означает количество элементов набора этой совокупности, проиндексированных соответствующим образом:

 

> [A'm'1', а'n'1] > 0                 (2)                                                                                           

 

Число A'm'1' назовём наибольшим числом рассматриваемой совокупности.

Составим из чисел набора а1'1', 'a'2'1', … 'an'1  сумму S' и сопоставим её с наибольшим числом А'm'1'. Тогда, в зависимости от значений величин чисел, составляющих набор, теоретически мы можем получить, помимо возможного равенства (3), одно из двух неравенств, (4) или (5):

 

A'm1' =  S = (a11 + a21 + … + an1)                          (3)                                                            

 

     A'm1' <  S = (a11 + a21 + … + an1)          109.63.214.36 21:39, февраля 16, 2013 (UTC)       (4)                                                                         

 

A > 'S'  = ('a'11' + 'a'21 '+ … + 'an'1')                   (5)                                                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">На основе (3), (4) и (5) составим разности R'3 (6), R'4 (7)  и R'5 (8) величин A'm'1' и  S': </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                                                 R3 = A'm1' -  S =  0                                  (6)                                                                           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">            </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                                      R4  = (A'm1' -  S) < 0                    (7)                                                                  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                  R5  = (A'm1' -  S) > 0                   (8)                                                                                </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 1. Для любой совокупности (2) чисел (элементов, параметров), составленной из n'' произвольных элементов набора и наибольшего числа' 'A'm'1', всегда найдётся одно и только одно вещественное  число 'x' ('0'  < x' < ∞), отвечающее некоторой точке положительных значений числовой оси абсцисс, такое, что будет выполняться равенство (9):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">A'x' = ('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x                  (9)                                                              </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Доказательство. Рассмотрим функцию y' = f'('x') вида (10): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">y = 'f'('x') = ('A'x' - ('a'11')'x' '- (a21)'x' - … - (an1)'x               (10)                                                    </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Функция (10)  y'  на левой границе положительных значений оси абсцисс при х ® 0 имеет всегда отрицательное значение (11):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">y' = (1 - 'n') < 0,                                (11)                                                                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">поскольку n > 1 по условию. При х, стремящемся к правой границе положительных значений  числовой оси, имеем (12): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">lim y = lim f(x) = lim (A'm1')'x (1 – (a11'/'('A'm1')'x' '– (a21/'('A'm1')''- …  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">x' ® ''x' ® '∞   ' 'x' ® '∞   '  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-90.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">… - (an1/'('A'm1')'x')  = lim ('A'm1')'x' = +Е,              (12)                                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-54.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:90.0pt">                                                      x' ® '∞  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-54.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:90.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-54.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:90.0pt">при этом: </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-54.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:90.0pt">если    'A'm'1 '> 1, то Е ® ∞, </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.45pt">а если 'A'm'1 '< 1, то Е ® 0, оставаясь всегда числом положительным.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-54.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:90.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.45pt">Таким образом, ордината y изменяется от отрицательного значения при х ® 0 до положительного при х ® '∞, очевидно переходя при некотором промежуточном значении х (0 < x' < ∞) через нулевое значение. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Обратим внимание на то, что при х = 1 возникает три возможных соотношения: (6), (7) или (8), т. е. ордината суммарной функции при х = 1 может быть равна нулю (6), иметь отрицательное значение (7) или быть положительной (8). Это значит, что суммарная функция пересекает ось х левее точки х = 1 (0 < x' < 1) в случае, если имеет место соотношение (8), или правее её (1 < x' < ∞), если выполняется требование соотношения (7), или в точке х = 1, если осуществляется равенство (6). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Покажем, что при любом из трёх значений разности Ri' корень функции является единственно возможным при всех положительных значениях х оси абсцисс (0' < x' < ∞).   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Введём обозначения функций (13) и (14): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">Y' = ('Am'1')'x'                               (13)                                                                                             </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.45pt;text-align:center;">y1 = f1(x) = ('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x'                 (14)                                                           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Обе функции, Y и y'1', однозначны, непрерывны на всей оси положительных значений абсцисс и не имеют точек разрыва. Обе функции, кроме того, являются всегда («всегда» синоним фразы: «на всей оси положительных значений абсцисс») строго возрастающими, если A > 1 (строго убывающими, если A < 1): функция (13) как показательная функция, а функция (14) как арифметическая сумма показательных функций. Поэтому обе функции, если они имеют общую точку, никаких других общих точек, кроме этой единственной, иметь не могут. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Итак, функция (10), как уже показано, всегда имеет корень, и этот корень всегда один-единственный. Теорема 1 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Условимся записывать  соотношение (9) сокращённо в виде выражения (15): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-63.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:63.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin:0cm0cm0.0001pt-27.6pt;text-indent:63pt;text-align:center;">f'('x') =  [A'm'1', а'n'1]х,                             (15)                                                          </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">а число х называть оперантом функции 'f'('x').</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Сокращённая формулировка Теоремы 1 имеет вид (16): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">f'('x') =  [A'm'1', а'n'1]х = 0                      (16)                                                           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:141.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Условимся величину левой и правой частей равенства (9) считать равной Nn'1', так что справедливо равенство (17): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:141.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">Nn1' = '(Am1)'x' = ('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x                (17)                                                    </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Индексы  n и  m'' могут принимать любые значения величин из натурального ряда чисел (n > 1, m > 0)</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Область применимости Теоремы 1:   > [A''m'1',' а'n'1] > 0, 0  < x' < . </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 2. Для любого набора ''K' чисел (параметров) [а11, ak'1], все элементы которого являются составной частью совокупности N' [Am'1', 'an'1], характеризующейся оперантом х, всегда существует наибольшее число Аg'1 '( > 'A'g'1 '> 0)', такое, что справедливо равенство (18): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">Kk1 = ('А'g1')x = ('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (ak1)'x               (18)                                             </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство.' Пусть имеется совокупность K' [Dg'1', 'dk'1] (∞ > [D'g'1', 'dk'1] > 0). Согласно Теореме 1 для этой совокупности существует некоторый оперант y (0 < y' < ∞), такой, что выполняется равенство (19): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">Kk1 = (Dg1)y = (d11)'y' '+ (d21)'y' + … + (dk1)'y'           (19)                                                            </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Пусть выполняются равенства (20): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">d'11 ' =  'a'11'; 'd'21 ' =  'a'21';… 'dk'1 ' =  'ak'1'; 'y' = 'x         (20)                                                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Тогда, учитывая, что любой оперант по условию является общим для обеих частей равенства, получаем (21): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">Kk1 = (Dg1)x = ('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (ak1)'x'                 (21)                                                      </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Сравнивая (18) и (21), приходим к выводу (22): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">Dg'1' = А'g'1                                   (22)                                                                                           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 35.45pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Из (22) следует, что число Аg'1 совокупности K [Аg'1, 'ak'1] является её единственным числом, удовлетворяющим равенству (18). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 3 (обратная теорема). Если имеется некоторое число 'Nn'1', являющееся результатом возведения произвольного числа 'Am'1 '( > 'A'm'1' > 0)' в некоторую степень х (0  < x' < ∞), так что выполняется равенство (23): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">Nn'1' = ('Am'1')х,                                    (23)                                                                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">то это число может быть представлено в виде суммы конечного числа 'n' набора слагаемых, имеющих вид правой части соотношения (9).</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt;tab-stops:205.55pt">Доказательство. Пусть имеется некоторая совокупность N' [Am'1', 'gn'1] (∞ > [A'm'1', 'gn'1] > 0), характеризующаяся оперантом y' (0  < y' < ∞). Согласно Теореме 1 для этой совокупности имеет место равенство (24): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">Nn'1 ' = ('Am'1')'y' = ('g'11')'y' '+ ('g'21')'y' + … + ('gn'1')'y'           (24)                                                           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Пусть выполняются равенства (25): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">g'11' = а11; 'g'21' = а21;… 'gn'1' = а'n'1'; 'y' = 'x'                      (25)                                                      </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Тогда (24) обращается в (9), и Теорема 3 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Формулировки последующих обратных теорем приводятся без доказательства. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 4. Если известны значения элементов набора чисел некоторой совокупности ''N', за исключением наибольшего её числа,  и известно значение  операнта х этой совокупности, то наибольшее число А'm'1' определяется по формуле (26): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:141.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">А'm1' = (('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x')1/'х'                   (26)                                                          </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">Доказательство следует непосредственно из (9).   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">            Из (26) с очевидностью следует (28) в том случае, если выполняется условие (27): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-align:center;">            a''11' ' = a21 = … = an1 = a''ср' ',                  (27)                                                                              </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-align:center;">            'А'm'1' = 'n'1/'x' 'a'ср'                     (28)                                                                                                </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">            Из (28) следует, что сумму n' произвольно выбранных чисел правой части равенства (9), взведённых в некоторую степень x, всегда можно заменить суммой n определённых одинаковой величины чисел a'ср ', возведённых в ту же степень x.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:141.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> Теорема 5.' Если имеется две совокупности 'N' [Am'1', 'an'1] и K' [(Am'1', 'bk'1], характеризующиеся оперантами соответственно х (0  < x' < ∞)  и у (0  < y' < ∞), у которых наибольший элемент является общим, то имеет место равенство (29):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;tab-stops:189.0pt">                                                          </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">     '(Am1)xy = (('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x')'y' ' = ((b11)'y' '+ (b21)'y' + … '+ ('bk'1')'y')'x'                                    (29)</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Используя равенство (26), получаем (29). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Обратим внимание на некоторые частные случаи. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">1. При k = 2 и х = 1 получаем равенство (30): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">'m'1 ')'y' =  (b'11')'y' '+ ('b'21')'y'                                                                                                 (30)</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">2. Из (30) при y = 2 следует (31): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">'m'1 ')2 =  (b'11')2 + ('b'21')2                                                                                                                                    (31) </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Впоследствии, при сопоставлении совокупностей N' чисел (элементов, параметров) со скалярными величинами векторов линейных векторных пространств (ЛВП), можно придти к выводу,  что (31) есть не что иное как алгебраическая форма классической теоремы Пифагора для двумерного пространства. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">3. При x' = 'y = 2 из (27) получаем (32): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin:0cm0cm0.0001pt-18pt;text-indent:18pt;text-align:center;">   '(Am1)2 = ('a'11')2 + (a21)2 + … + (an1)2 = (b11)2 + (b21)2 + … + (bk1)2                                             (32) </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-18.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:18.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-18.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:18.0pt">По аналогии с выводом предыдущего пункта соотношение (32) отражает квадратичную взаимосвязь между набором параметров n-мерного и k-мерного пространств согласно классической теореме Пифагора. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-18.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">4. Вообще говоря, при x' = 'y = r, имеет место равенство (33): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-18.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-align:center;">(Am1)r = ('a'11')r + (a21)r + … + (an1)r = (b11)r + (b21)r + … '+ ('bk'1')'r'          (33)                                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">            В развитие п.п. 2. и 3. равенство (33) связует параметры   n-мерного и k-мерного пространств с помощью операнта r'.       </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">5. При y = 1/x из (27) возникает  любопытная формула (34): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.45pt">А'm1' = (('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x')1/'х' =</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;"> =  ((''b'11')1/'x' + (('b'21')1/'x + … + (('bk'1')1/'x')'x'                   (34)                                                                                                             </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Результат (34) можно сформулировать в виде специальной теоремы. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 6 (об эквивалентности иррациональности суммы и суммы иррациональностей).  Любое вещественное положительное число может быть представлено одновременно и как иррациональность (1/х)-ой степени, полученная на основе суммы n'' оснований степени х, и как сумма иррациональностей (1/х)-ой степени 'k' оснований, возведённая в степень х. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Все три соотношения (3), (4) и (5) составлены из элементов исходной совокупности N, для которой справедливо равенство (9). Но для соотношения (3) уже известно значение операнта, а в отношении двух других неравенств имеет место Теорема 7. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 7. Если совокупности N' чисел (параметров) [A'm'1', 'an'1] удовлетворяет неравенство (4), то оперант х в соотношении (9) изменяется в пределах, заданных условием (35) </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt">< x' < ,                                                                                                (35)</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">а если ей удовлетворяет условие (5), то оперант х в формуле (9) изменяется в пределах, заданных соотношением (36)</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt">0  x' < 1.'                                                                                                 (36) </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство.  Обратимся к  соотношению (9). Примем для правой части равенства условие (27). Очевидно, что при выполнении условия (27) величина a'ср ' существует и удовлетворяет требованию  0a'ср ' <. В самом деле, величина a'ср ' не может быть меньше a'11' и больше an'1, поскольку оба эти утверждения противоречат условию (27). Следовательно, величина a'ср в действительности либо равна величине какого-то из чисел набора, либо расположена в промежутке между некоторыми двумя соседними числами этого набора. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> Итак, при выполнении условия (27) из (4) следует (37): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">A'm'1''n' 'a'ср '                                             (37)                                                                           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Неравенство (37), очевидно, является частным случаем неравенства (4). Поэтому согласно Теореме 1 для неравенства (37) обязательно существует  оперант х (0 <  х <), отвечающий некоторой точке положительных значений числовой оси, такой величины, что это неравенство обращается в равенство (38): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">('A'm'1')'x' = 'n' '('a'ср')'x' ,                       (38)                                                                                        </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">чем окончательно и доказывается утверждение о существовании предполагаемого числа a'ср '. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Из соотношения (37) следует неравенство (39):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                       'A'm'1</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">a'ср ' > -----------                                           (39)                                                                                         </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">                                        'n'                                                                                                  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">От принятия условия (39) неравенство (4) только усилится. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Тогда из (38) очевидно следует соотношение (40): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">            '                                               'ln n</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;">                                                x =  --------------                            (40)                                                                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">                                                           Am1                                                     </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">ln ----------</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">                                                             a'ср' '                                                                 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">А так как из (39) следует (41): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                                     Am1</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">                                          'n'  >   -------  ,              '           (41)                                                                                                                                 '                                                                                                 a ср</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">то из (40) следует (35), поскольку в знаменателе стоит число, меньшее числителя. Сравнивая (9) и (38), видим, что левые части их равны между собою, а это значит, что, как бы ни изменялись в неравенстве (4) величины A'm'1', 'a'11', 'a'21',… 'an'1', показатель степени x всегда  будет изменяться в соответствии с требованием условия (35). В самом деле, допустим, что существует такое значение a'ср ', для которого  0 < x' < 1. Но тогда, из (40), следует неравенство n' < '('A'm'1' / 'a'ср '), которое противоречит условию (41). Таким образом, первая часть Теоремы 7 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Пусть теперь выполняется условие (36). Рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, приходим к формуле (42), которая следует из (5): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">A'm'1' > 'n' 'a'ср'                          (42)                                                                                            </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Но отсюда, из (42), по аналогии с рассуждениями, подобными рассмотренным в предыдущем случае, следует (36). Допущение, что существует такое значение a'ср ', при котором выполняется условие (4), приводит к противоречию. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 7 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 8 (обратная теорема). Если в соотношении (9)  оперант х изменяется в пределах 0 < х < 1, то для величин оснований, составляющих это соотношение, справедливо неравенство (5), а если он изменяется в пределах 1 < x' < , то для величин оснований, составляющих равенство (9), справедливо соотношение (4). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Обратимся к соотношению (30). Оно есть, как уже отмечалось, не что иное, как обобщение классической теоремы Пифагора для двумерного плоского пространства. Но, поскольку само соотношение (30) получено из более общего соотношения (9), то это последнее естественно считать обобщением классической теоремы Пифагора на пространства более высокой мерности, чем двумерное. Назовём поэтому соотношение (30) алгебраическим выражением Обобщённой теоремы Пифагора для двумерного пространства, а соотношение (9) – Расширенной теоремы Пифагора для n-мерного пространства. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Мотивацию такого вывода представляем. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема Пифагора возникла в связи с потребностями геометрического толка. Обратимся поэтому к линейным векторным пространствам (ЛВП). Пусть имеется некоторое ЛВП, подчиняющееся соответствующим аксиомам. Выберем конечное число n векторов произвольного направления, модули которых соответствуют скалярным величинам a'11', 'a'21',… 'an'1, и совместим их начала в некоторой точке ЛВП. Такая система векторов, как известно, называется базисной (базисом), ЛВП, отнесённое к этой системе, - n-мерным, а общая для всех векторов базиса точка – началом координат n-мерного ЛВП. Удаление одного вектора из базиса, очевидно, понижает мерность ЛВП на единицу, а, напротив, присовокупление к нему какого-либо вектора повышает его мерность на единицу.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Любой вектор, не относящийся к базису, условимся называть внебазисным, или внешним. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Пусть имеется некоторый внебазисный (внешний) вектор n-мерного ЛВП, модуль которого есть Аm'1 и начальная точка которого помещена в начале координат ЛВП, и пусть вдоль каждой оси базиса ЛВП направлены соответственно векторы a'''''11''''''''''a'''''21''''', …  '''''an'''''1'''''. Пусть, далее, выполняется векторное равенство (43):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">A'''''m'''''1''''' = '''''a'''''11''''' + '''''a'''''21 '''''+ … + '''''an'''''1''''',               (43)                                                                                </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Вектор A'''''m'''''1 в этом равенстве, как известно, называется главным. Совокупность N модулей векторов (A''m'1',  'a'11', 'a'21 ' …  'an'1) отвечает требованию (1). Векторные величины a'''''11''''', '''''a'''''21 ''''' …  '''''an'''''1 являются, как известно, компонентами главного вектора А'm'''''1'''''. Введём сокращённую запись совокупности N' в виде прямоугольной скобки [A'm'1',  'an'1], где индекс n означает мерность ЛВП.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 9. Если набор оснований соотношения (9) таков, что их совокупность удовлетворяет требованиям (1)  и (4), то этому набору соответствует некоторый главный вектор Аm'''''1, начальная точка которого совпадает с началом координат некоторого 'n'-мерного ЛВП, а базисную систему векторов (базис) последнего составляют такие векторы a'''''11''''', '''''a'''''21 ''''' …  '''''an'''''1''''', которые удовлетворяют векторному равенству (43).</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Пусть имеется некоторый внешний вектор Аm'''''1''''', начальная точка которого совпадает с началом координат некоторого n-мерного ЛВП,  и пусть базисную систему векторов (базис) последнего составляют векторы a'''''11''''', '''''a'''''21 ''''' …  '''''an'''''1''', такие, что выполняется векторное равенство (43) и справедлива запись (44):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">A'''''m'''''1''''' = {'a'11', 'a'21 ' …  'an'1'}                  (44)                                                                                    </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Вектор A'''''m'''''1''''', как уже отмечалось, является главным. Совокупность скалярных величин, составленная из модулей компонентов вектора Аm'''''1''''' и его собственного модуля, удовлетворяет  требованиям (1) и (4). Значит, к этой совокупности применима Теорема 1,' и, следовательно, числа этой совокупности подчиняются закономерности, представленной соотношением (9). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 9 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 10 (обратная теорема). Если главный вектор Am'1, начальная точка которого совпадает с началом координат некоторого базиса 'n'-мерного ЛВП, таков, что все скалярные величины (компоненты) а11, а21 … а'n'1', характеризующие этот вектор, удовлетворяют требованиям (1) и (4), то для  модуля этого вектора и величин его компонентов справедливо равенство (9), в котором оперант  х  удовлетворяет соотношению (35).   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 11 (теорема об ограниченности n-мерных пространств, описываемых функцией f'('x'), в том случае, если модуль переменного главного вектора A'''''m'''''1 и оперант х являются величинами постоянными: A'm'1' = 'const', 'x' = 'const). Функция f'('x') (представленная в виде соотношения (10)), которая алгебраически соответствует геометрической совокупности континуума векторов, лежащих своими начальными точками в начале координат некоторого базиса  'n'-мерного ЛВП, в том случае, если модуль переменного главного вектора A'''''m'''''1 и оперант х остаются величинами  постоянными: A'm'1' = const', 'x' = 'const', - эта функция является ограниченной сверху и снизу некоторыми постоянными величинами, а значит, ограниченным является и само 'n'-мерное ЛВП). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Пусть имеется функция f'('x'), представленная в виде соотношения (10). В случае фиксированного по модулю значения A'm'1' = 'const'  и фиксированного значения операнта x' = 'const'  нетрудно увидеть, что функция  f'('x')      ограничена сверху, поскольку при a'11 ' = 'a'21 ' =… = an''1' = 0  очевидно f'('x') = '('A'm'1')х = 'const' ' = 'fmax' .  С другой стороны, функция f'('x') ограничена и снизу, поскольку, учитывая условие (1), нетрудно заметить, что величина f'('x') не может быть меньше величины fmin' = (-('n'-1)'fmax) = const. Таким образом, функция f'('x'),   в случае фиксированного по модулю значения A'm'1' = 'const'  и фиксированного значения операнта х = const', является ограниченной сверху и снизу некоторыми постоянными величинами, так что имеет место неравенство: (fmin'  <  'f'('x'fmax). А это означает, что, согласно Теореме 11, функция   f'('x'описывает ограниченное n-мерное пространство. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 11 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">В дальнейшем будем иметь в виду, что к пространствам, описываемым функцией f'('x'), в необходимых случаях следует  добавлять термин «ограниченные», потому что Расширенная теорема Пифагора – это теорема для ограниченных n-мерных пространств, а Обобщённая теорема Пифагора – это теорема для ограниченных двумерных пространств.  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 12. Модуль главного вектора базисной системы векторов  n''-мерного ЛВП определяется по формуле (26). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство следует из Теоремы 4. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Соотношением (26) определяется любая из неизвестных величин, входящих в него, если известны все остальные. Соотношение (26), которое чисто формально может быть получено из равенства (9), служит для определения расстояния между двумя точками (длины максимального отрезка A'm'1 в ограниченном n-мерном пространстве (в частном случае, в ограниченном двумерном плоском пространстве)). Согласно Теореме 4 это расстояние есть модуль внешнего вектора n-мерного ЛВП, начало которого совпадает с началом некоторого базиса этого ЛВП, а компонентами этого вектора являются его проекции на координатные оси ЛВП. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 13.' Расширенная теорема Пифагора 'при одном и том же операнте  сводима к 'Обобщённой теореме Пифагора', и наоборот. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Из Теоремы 5 и соотношения (27) при k = 2  и x' = 'y возникает формула (45), которая и доказывает Теорему 13:</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">(Am1)x = (''a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x' ' = (b11)''x' '+ (b21)'x'            (45)                                                         </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Поскольку показательная функция симметрична относительно вертикальной оси игреков, то все предыдущие результаты справедливы и для значений х, отвечающих отрицательным значениям оси абсцисс: - ∞  < x' < 0.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Обратимся теперь к Обобщённой теореме Пифагора. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt;tab-stops:78.0pt">Следствие 1 Теоремы 1. Пусть совокупность  [А'm'1', 'an'1] для всех  > [A'm'1', 'an'1] > 0 состоит из 3-х чисел, т. е. имеется тройка [Am'1', а21]. Тогда условие (2) примет вид (46): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;"> > [A'm'1', 'a'21] > 0                   (46)                                                                                          </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt">а равенство (9) предстанет в виде (47): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt">(A'm1')'x' = ('a'11')'x' '+ (a21)'x', или сокращённо: f'('x')= [A'm1', a21]x = 0            (47)                            </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt">Здесь: < x' < ∞.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt">Условия (3), (4) и (5) примут вид соответственно (49), (48) и (50): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt">A'm1' < ('a'11' + a21)                                          (48)                                                                      </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt">                                     </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 35.4pt">A'm1' = ('a'11' + a21), или:  f'(1)= [A'm1', a21]1 = 0                   (49)                                            </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt">A'm'1' '>' ('a'11' + 'a'21')                                           (50)                                                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-indent: 36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Как следует из Теоремы 11, условий (46) и (48), равенство (47) образует ограниченное двумерное плоское, в частном случае, метрическое, пространство, геометрический рисунок которого определится несколько позже.   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Обобщённая теорема Пифагора доказана. Область  применимости Обобщённой теоремы Пифагора: > [A'm'1', 'a'21] > 0,  0 < x' < . Для сравнения: область применимости классической теоремы Пифагора: ∞ > [A'm'1', 'a'21] > 0,   x' = 2.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Следствие 2 Теорем 1 и 7. Числа, выражающие длины сторон любого треугольника, образуют совокупность, которая отвечает неравенству (48), и потому, согласно Теореме 1, ей отвечает равенство (47), причём значения операнта х отвечают условию (35);  условимся считать, что каждый треугольник имеет свою степень х (1 < 'x' < ∞). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство  Следствия 2 вытекает из Теорем 1 и 7. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Прежде чем обратиться к следующей теореме, Теореме 14, представим некоторые пояснения. Известно, что существует биполярная система координат, такая система, в которой за начало координат приняты две фиксированные на плоскости точки (полюса). Пусть расстояние между этими полюсами (базис) будет равно A'm'1' = 'const' и пусть координаты ai'1 ' и aj'1 любой точки на плоскости удовлетворяют условию (46). Пусть, далее, выполняется требование (48). Тогда, очевидно, к совокупности чисел, определяющих параметры треугольника, применима Теорема 1 благодаря наличию у этого треугольника некоторой степени х. Таким образом, каждой точке плоскости (иначе говоря, каждой вершине треугольника, опирающегося на базис биполярной системы координат) помимо координат a'11 ' и a'21  соответствует ещё и некоторая степень (оперант) x' (1 < 'x' < ∞). Конкретно заданному геометрическому объекту ограниченного двумерного плоского метрического пространства, треугольнику, однозначно соответствует алгебраическое сочетание определённых, строго взаимосвязанных чисел – некоторая их четвёрка, причём оперант х очевидно является величиной, несомненно, зависимой от величин оснований Аm'1', 'a'11'  и a'21'. Отыскание этой зависимости для частного случая ограниченного двумерного плоского метрического пространства элементарно.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 14. Оперант х для частного случая ограниченного двумерного плоского метрического пространства при (''a'21')2 = ('a'11' 'Am'1') определяется по формуле (51): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">                              </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">                            ''51/2 – 1                                    51/2 - 1 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">                  ln ----------------                         ln ----------------                     </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">                              2                                               2</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">  'х' =   ---------------------------- =  --------------------------------                                      (51)</p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:35.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt">            a21                                                                    a11           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:35.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:.05pt">               ln ---------                             ln ---------</p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:35.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:.05pt">                   '' Am'1'                                                    'a'21             </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:35.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt">                      </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:35.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Доказательство. Из равенства (47) имеем соотношение (52): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:35.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin:0cm0cm0.0001pt35.4pt;text-indent:35.4pt;">  (a11)x    (a21)x</p> <p class="MsoNormal" style="margin:0cm0cm0.0001pt35.4pt;text-indent:35.4pt;">------- + --------   = 1                               (52)                                                 </p> <p class="MsoNormal" style="margin:0cm0cm0.0001pt35.4pt;text-indent:35.4pt;">  (Am1)x   (Am1)x                                                  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Пусть имеет место равенство (53): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">            </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">           'a'11     '('a'21')'q'</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">        -------- = --------</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> 'Am'1' ('Am'1')'q'                                                                                                          (53) </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Выполним замену (54): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;">                            (a21)x</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;">                           ---------- =  'z'                    '  (54)     '                                                                                                     </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;">                            ('Am'1')х                                                                        </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Тогда из (52), с учётом (53) и (54), следует уравнение (55): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">            z' 'q' + 'z' = 1,                                                                      (55)                                                                                                      </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">где q' – величина (56), которую из (53) нетрудно определить:</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">            </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                      a21 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                ''ln   ----------- </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                      Am1 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                      q =    ------------------------        (56)                                                                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                        a11</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                   ln   -------------</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">                          Am1                                                    </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">При q' = 2, что вполне выполнимо, поскольку a'21 '> 'a'11', из (55) получаем решение (51). Из (53) следует условие (57), при котором существует решение (51): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">            (a'21')2'a'11' 'Am'1      (57)                                                                                                  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Уравнение (55) может иметь частные случаи решения в виде конкретных формул также при двух других целочисленных значениях q': 'q' = 3 и q' = 4. Во всех остальных случаях, т. е. при q' > 4 и нецелочисленных значениях q, уравнение (55), как известно,  решения  в виде некоторой конкретной формулы иметь не может. Для определения величины операнта х в таких случаях необходима специально разработанная компьютерная программа. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 15 (геометрическая интерпретация Обобщённой теоремы Пифагора). Совокупность вершин всех треугольников, рассматриваемых в биполярной системе координат, удовлетворяющих условиям (46) и (48), которые имеют в качестве основания расстояние между полюсами A'm'1' = 'const', а длины боковых сторон которых (т. е. координаты этих вершин) 'a'i'1' и 'aj'1' изменяются таким образом, что   степень этих треугольников остаётся величиной постоянной 'x' = 'const', образует геометрическое место точек плоской замкнутой эквипоказательной кривой, имеющей две оси симметрии: одну - относительно основания 'A'm'1', другую – относительно линии, ортогональной основанию 'A'm'1'  и проходящей через его середину.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Обратимся к равенству (47). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Как уже отмечалось (Следствие 2 Теорем 1 и 7), равенству (47), в частности,  отвечает множество треугольников, имеющих различные степени х (1 < x' < ∞) . Выберем  среди них те, которые отвечают условию (58):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">x' = const                                   (58)                                                                                         </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Возьмём из континуума этих последних два произвольных треугольника с длинами сторон a'11', 'a'21 и b'11',  'b'21. Тогда на основании равенства (47) можно составить равенство (59): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:35.4pt;text-align:center;">('A'm'1')'x' = ('a'11')'x' +  ('a'21')'x' = ('b'11')'x' + ('b'21')'x              (59)                                                          </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.45pt;tab-stops:189.0pt">Пусть далее a'11''b'21 и b'11''a'21. Тогда   очевидно, что два таких треугольника являются зеркальным отображением друг друга относительно перпендикуляра, проходящего через середину отрезка A'm'1. Любому треугольнику  из множества их, отвечающих условию (58), взятому с длинами сторон ai'1 ' и aj'1, обязательно соответствует его зеркальный антипод с длинами сторон bi'1 и  bj'1, такой, что ai'1' = 'bj'1 и  aj'1' = 'bi'1. Совокупность бесконечного множества  вершин таких треугольников, отвечающих условию (58), образует геометрическое место точек замкнутой эквипоказательной кривой, которую назовём для краткости кругоидой  степени x' (при x' = 2 эта замкнутая кривая есть окружность), а  фигуру, ограниченную кругоидой степени x, будем называть кругоидом  степени x (при x' = 2 эта фигура есть круг). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt;tab-stops:189.0pt">Не нарушая общности предыдущих рассуждений, примем далее ai'1 ' = 'bj'1' и bi'1 ' = ''aj'1' = 0. В этом случае очевидно, что речь идёт не о множестве различных зеркальных друг другу треугольников, а об одном равнобедренном треугольнике, принадлежащем данной кругоиде и единственном из всего множества, поскольку в силу принятого условия индексация теряет смысл. Контур равнобедренного треугольника, как известно, зеркален относительно его высоты. Зеркальными, как уже отмечено ранее,  являются и пары треугольников со сторонами ai'1' и aj'1, bi'1 и  bj'1, в случае, если ai'1' = 'bj'1 и  aj'1' = 'bi'1. Значит, и равнобедренный треугольник, и всё множество зеркальных друг другу треугольников со сторонами ai'1 ' и aj'1, bi'1 и  bj'1 (ai'1' = 'bj'1 и  aj'1' = 'bi'1') имеют общую линию симметрии, поскольку все они расположены на одном общем основании A'm'1'. Но высота равнобедренного треугольника, единственного из всего их множества, не имеющего себе зеркального отображения,  проходит через середину основания A'm'1 ортогонально к нему. Значит, линия, совпадающая с высотой равнобедренного треугольника, есть линия симметрии кругоиды (кругоида). Несложно, кроме того, показать, что высота равнобедренного треугольника, опирающегося на базис биполярной системы координат и вершина которого лежит на некоторой кругоиде, в сравнении со всеми высотами других треугольников, опирающихся на этот же базис и вписанных в эту же кругоиду, является наибольшей. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Любому треугольнику (а значит, и всему их множеству), у которого длины сторон отвечают условию (58), взятому по одну сторону основания A'm'1, в силу симметрии пространства в обязательном порядке зеркально соответствует другой треугольник,  расположенный по другую сторону основания, и значит, каждая точка кругоиды, расположенная по одну сторону относительно основания A'm'1, имеет соответствие по другую его сторону.  Значит, кругоида  имеет и другую линию симметрии, совпадающую с основанием A'm'1. Более того, каждая точка, взятая внутри кругоида, имеет симметрично расположенную относительно вертикальной (и горизонтальной) оси симметрии кругоида единственную точку. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Любая кругоида является замкнутой в силу наличия в условии (46) наибольшего элемента A'm'1'.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 15 (геометрическая интерпретация Обобщённой теоремы Пифагора) доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Таким образом, алгебраическому выражению, имеющему вид соотношения (47), геометрически соответствует континуальное множество всевозможных плоских кругоид, и наоборот. В частности, при x = 2  кругоида 2-ой степени - это известная окружность, а все треугольники, вписанные в эту кривую (пифагоровы треугольники), имеют степень, равную 2; при x = 3 совокупность вершин треугольников образует соответственно кругоиду 3-ей степени, а все треугольники, вписанные в неё, имеют степень x = 3; и т. д., в том числе и для трансцендентных значений, например,  для  x' = π или x' = е. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">При  x = 1 кругоида вырождается в отрезок длины A'm'1, составленный из суммы двух произвольных отрезков a'11 и a'21' степени x' = 1. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Существует и пограничная кругоида степени x ® ∞, за пределами которой точек плоского пространства, описываемого функцией f'(х), не существует. Назовём её гиперкругоида. Строится она очень просто. Для этого раствором циркуля R' = 'A'm'1  из конечных точек отрезка A'm'1 (полюсов биполярной системы координат) проводится две дуги окружности до пересечения их друг с другом. Периметр полученной чечевицеобразной фигуры и есть гиперкругоида. Фигуру, ограниченную гиперкругоидой, назовём гиперкругоидом. В этом случае (т. е. при x' ® ∞) сложение отрезков a'11 и a'21 производится по формуле (60), которая легко проверяется непосредственно: </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:105.6pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt">                     'a'11'  +  'a'21'                     </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:212.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:-70.65pt">A''m'1 =  -----------------------              (60)                                                                         '    </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:212.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:-70.65pt">                        'a'11 ' 'a'21              </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:70.8pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; tab-stops:108.0pt">                                    1 +   ------------  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                                      (A'm'1')2</p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:212.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:-70.65pt">                                                                                        </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:141.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt">                       </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Можно показать, что в случае ограничения снизу совокупности N' чисел (параметров), отвечающего неравенству 1 > [a'11''a'21, a'01] > 0, некоторым наименьшим вещественным положительным числом а01 , сложение отрезков a'11 и a'21 при х ® 0 производится по формуле (61), аналогичной формуле (60): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                               a'11'  +  'a'21'                      </p> <p class="MsoNormal" style="margin:0cm0cm0.0001pt70.8pt;text-align:center;">                      а'01'   =   ---------------------                                                (61)                                                                                                                                                                                                                      a11  a21 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:70.8pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; tab-stops:108.0pt">                                      1 +   ---------------    </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                                            (а01')2 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:70.8pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph">                                                                                                 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Наглядное геометрическое истолкование соотношения (61), в отличие от имеющегося для формулы (60), не представляется возможным, так же как является затруднительным представить себе геометрическую интерпретацию n-мерного векторного пространства, модули главного вектора и базисных векторов  которого отвечали бы неравенству (5), - затруднительным, поскольку невозможно векторное равенство (43), несмотря на то, что  существует соотношение (47), из которого при х ® 0 следует формула (61), позволяющая выполнять сложение отрезков a'11 ' и  a'21.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 16 (теорема расстояний в ограниченном двумерном плоском метрическом пространстве). Расстояние A'm'1' между полюсами биполярной системы координат, выраженное через координаты 'a'11' и 'a'21 'некоторой точки в ограниченном плоском двумерном метрическом пространстве, в случае, если  степень треугольника, образованного сторонами 'a'11', 'a'21 ' и 'A'm'1', есть 'x' (1 < x' < ∞), определяется соотношением (62), причём число Аm'1' является единственным, удовлетворяющим правой части соотношения (62): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">A'm'1' = (('a'11')'x' + ('a'21')'x')1/'x                       (62)                                                                                                                                                                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Соотношение (62) очевидно следует из выражения (47), а также из соотношения (26) при а31 = а41 = … = аn'1'  = 0. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Число  'A'm'1  является единственным, удовлетворяющим соотношению (62).  В самом деле, допустим, что существует некоторое число Bm'1', такое, что выполняется равенство (63):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">B'm'1' = (('a'11')'x' + ('a'21')'x')1/'x                     (63)                                                                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Вычитая из (62) равенство (63), получаем (64): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">A'm'1'  =           B'm'1                             (64)                                                                                                     </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 16 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Из (62) при условии (65)  следует (66). </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">a'11' = a21 = a'ср'                      (65)                                                                                              </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">A'm1' = 21/x 'a'ср'                          (66)                                                                                           </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Соотношение (66) описывает взаимозависимость между элементами совокупности всех равнобедренных треугольников, в которой величина a'ср'есть длина заданной стороны равнобедренного треугольника, вписанного в кругоиду степени x'.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 17. Любая иррациональность, представленная в виде степени 1/x'', где 'x' – любое вещественное число, большее 1 (1 < 'x' < ∞), может быть выражена положительным значением квадратичной иррациональности.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Из теоремы косинусов известно, что в треугольнике с длинами сторон, равными a'11', 'a'21 и A'm'1, если угол γ противостоит стороне A'm'1, расстояние A'm'1 определяется в виде положительной величины по формуле (67): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">A'm1' = (('a'11')2 + ('a'21')2 – 2('a'11')('a'21')'cos' 'γ')1/2                 (67)                                                        </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:27.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:27.0pt">Однако то же самое расстояние можно определить и из соотношения (62). Значит, мы вправе написать равенство (68): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:-9.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:36.0pt">A'm'1' = (('a'11')'x' '+ ('a'21')'x')1/'x' = (('a'11')2 + ('a'21')2 – 2( 'a'11')( 'a'21')'cos' 'γ')1/2                                        (68)              </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:27.0pt">  </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:27.0pt">Теорема 17 доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Кажущаяся парадоксальность равенства (68) имеет под собой вполне  воспринимаемое логическое объяснение. Один и тот же треугольник может быть вписан, с одной стороны, в окружность радиуса R' = 'A'm'1' / (2'sin γ'), где γ' угол, противолежащий наибольшей стороне треугольника A'm'1, с другой – согласно Теореме 15 -  в кругоиду некоторой степени x. Отсюда и следуют две различные формулы для определения расстояния между двумя одними и теми же точками, расположенными одновременно, во-первых,  на некоторой окружности и, во-вторых,  на некоторой кругоиде, и являющимися одними и теми же вершинами одного и того же треугольника. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Из Теоремы 13  и формулы (45) следует вывод (69): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">A'm1' = (('a'11')'x' '+ (a21)'x' + … + (an1)'x')1/'х'  ' = ((b11)'х' '+ (b21)'х')1/'х' = </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;"> '' = ((''c'11')2 + ('c'21')2 – 2( 'c'11')( 'c'21')'cos' 'γ')1/2                 (69)                               </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Вывод (69) отражает взаимосвязь между сторонами n'-мерного параллелепипеда, (n' + 1) вершин которого лежат на ограниченной n-мерной поверхности сфероида степени х,  сторонами параллелограмма, три вершины которого лежат на некоторой кругоиде степени х,  и сторонами треугольника, вокруг которого описана окружность, в том случае, если наибольшая диагональ n'-мерного параллелепипеда, наибольшая диагональ параллелограмма и наибольшая сторона треугольника, вокруг которого описана окружность, имеют одну и ту же величину. Иначе говоря, каждой из трёх перечисленных геометрических фигур соответствует замкнутое ограниченное геометрическое пространство: плоское - в виде окружности (круга), плоское  – в виде кругоиды (кругоида), n-мерное  – в виде сфероиды (n-мерной поверхности) (сфероида) (тела n-мерной сферы).</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Теорема 18. Угол 'γ' при вершинах континуума треугольников, лежащих на кругоиде некоторой заданной степени х, не является величиной, постоянной для всего этого множества, а также не является константой для любого значения величины х, за исключением х = 2, и принимает экстремальное значение при 'a'11' = 'a'21 ' = 'a'ср '. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Из (67) и (68) следует соотношение (70): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                ('a'11')2 + (a21)2 - (('a'11')'x' '+ (a21)'x')2/'x</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">cos γ =  --------------------------------------------                  (70)                                     </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">                                                '2'a'11' 'a'21',                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Из (70) следует, что при х = 2  cos γ = 0 и, значит, γ = p / 2 = const независимо от того, каким образом меняются величины a'11 и a'21' '.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Если х < 2, то, в соответствии с (70), -1 < cos' 'γ < 0 и, следовательно,  p > γ > p/2. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Если х > 2, то, как следует из (70), ½ > cos' 'γ > 0 и p/2 > γ' > p/3.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.45pt">Соответствующее исследование выражения (70) на наличие экстремальных значений, показывает, что угол 'γ' для всех треугольников, вписанных в кругоиду заданной степени при а11 = а21 = a'ср'  и х > 2 имеет минимальное значение, а при х < 2 -  максимальное.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Теорема 19 (Основная теорема общей тригонометрии). В любом треугольнике, имеющем величины углов 'α',' 'β' и 'γ' ('α' < 'γ',' 'β' < 'γ'),' степень которого есть 'x' (1 < x' < ∞),  всегда выполняется равенство (71):</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0.0001pt;text-indent:36pt;text-align:center;">s'inx' 'α' + 'sinx' 'β' = 'sinx' ('α' + 'β') = 'sinx' 'γ                  (71)                                                                                                   </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">Доказательство. Стороны любого треугольника выражаются через радиус описанной окружности известным способом, откуда формула (71) следует из (47) непосредственно. Теорема 19 (Основная теорема общей тригонометрии) доказана. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">Из формулы (71) очевидно вытекает известная основная формула тригонометрии (для ограниченного двумерного плоского метрического пространства) при α' + 'β' =' π / 2. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">s'in'2' 'α''sin'2' 'β' = 'sin'2' 'α' + 'cos'2' 'α' = 'sin'2' ('α' + 'β') = 1                                        </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">2. Все кругоиды, описываемые соотношением (47), являются плоскими. Простейшим выходом из плоскости является вращение кругоиды относительно одной из осей её симметрии. Все типы ограниченных трёхмерных пространств, образующихся при такой манипуляции, допускают возможность привычного для нас толкования его с помощью формул классической теоремы Пифагора для трёхмерного пространства. Другая возможность математического описания такого пространства возникает при использовании кругоид. Однако математически гораздо более сложное ограниченное трёхмерное пространство  вытекает  из  уравнения (72): </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:36.0pt">f'('х') = [A'm1', a31]х' = 0, или: (A'm1')'x' = ('a'11')'x' + (a21)'x' + (a31)'x,                                      (72)                                       </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph">в котором в качестве совокупности [A'm'1', а'n'1]  выбрана четвёрка чисел (параметров) (∞ > [A'm'1', а31] > 0). Соотношение (72) является Расширенной теоремой Пифагора для ограниченного трёхмерного, в частности,  метрического, пространства, из которого уравнение сферы в прямоугольной декартовой системе координат: f'(2) = ('A'm'1', 'a'31')2 = 0, или: ('A'm'1')'2' = ('a'11')2 + ('a'21')2 + ('a'31')2 появляется всего лишь в качестве весьма-весьма частного случая.</p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">3. До сих пор мы рассматривали совокупности чисел (элементов, параметров), которые удовлетворяют неравенству (4). Что касается неравенства (5), то, как нетрудно заметить, для всей совокупности элементов, составляющих это неравенство, не выполнима одна из аксиом установления метрики пространства - «неравенство треугольника» - и, следовательно, невозможно установление метрики. Тем не менее, Расширенная теорема Пифагора утверждает, что и для неравенства (5) всегда существует такое значение х, при котором эта теорема справедлива, а для всех оперантов y' > = 'x существует метрика. Наличие же оперантов z' < 'x, при которых метрика для заданной совокупности элементов в принципе невозможна, не является чем-то противоестественным, так же, например, как  не удивительно то обстоятельство, что для светового луча в жидкости не существует пространства за пределами конуса полного внутреннего отражения, хотя таковое реально наблюдаемо. </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:35.4pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">19. 12. 2010 г.   Автор              109.63.214.36 21:39, февраля 16, 2013 (UTC)                               Н. П. Кружилин </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt">07.12.2011 г. (правка)                          </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:177.0pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:35.4pt">Список литературы </p> <p class="MsoNormal" style="margin-bottom:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align: justify;text-justify:inter-ideograph;text-indent:35.4pt"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:81.9pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:-46.5pt;mso-list:l6level1lfo14;tab-stops:list81.9pt">1.                        И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, издание 6-ое стереотипное, государственное издательство технико-теоретической литературы, М., 1956 </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:81.9pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph"> </p> <p class="MsoNormal" style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:0cm; margin-left:81.9pt;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph; text-indent:-46.5pt;mso-list:l6level1lfo14;tab-stops:list81.9pt">2.                        А. И. Борисенко, И. Е. Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Издательство «Высшая школа», М., 1966 </p> <p class="MsoNormal"> </p> <p class="MsoNormal"> </p>

Страницы в категории «Геометрия треугольника»

Показано 2 страницы этой категории из 2.

Викия-сеть

Случайная вики