ФЭНДОМ


Файл:Tangent to a curve.svg

Каса́тельная пряма́я в математическом анализе — прямая, проходящая через точку графика функции и имеющая такой же наклон.

Определение Править

  • Пусть функция $ f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ определена в некоторой окрестности точки $ x_0\in \mathbb{R} $, и дифференцируема в ней: $ f \in \mathcal{D}(x_0) $. Касательной прямой к графику функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется график линейной функции, задаваемой уравнением
    $ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R}. $
  • Если функция $ f $ имеет в точке $ x_0 $ бесконечную производную $ f'(x_0) = \pm \infty, $ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
    $ x = x_0. $

Замечание Править

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $ (x_0,f(x_0)) $. Угол наклона касательной прямой $ \alpha $ удовлетворяет уравнению

$ \operatorname{tg}(\alpha) = f'(x_0), $

где $ \operatorname{tg} $ обозначает тангенс.

Касательная как предельное положение секущей Править

Файл:Derivative.gif

Пусть $ f:U(x_0) \to \R, $ и $ x_1 \in U(x_0). $ Тогда прямая линия, проходящая через точки $ (x_0,f(x_0)) $ и $ (x_1,f(x_1)) $ задаётся уравнением

$ y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0). $

Эта прямая проходит через точку $ (x_0,f(x_0)) $ для любого $ x_1\in U(x_0), $ и её угол наклона $ \alpha(x_1) $ удовлетворяет уравнению

$ \operatorname{tg} (\alpha(x_1)) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}. $

В силу существования производной функции $ f $ в точке $ x_0, $ переходя к пределу при $ x_1 \to x_0, $ получаем, что существует предел

$ \lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}(\alpha(x_1)) = f'(x_0), $

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$ \alpha = \operatorname{arctg}\left(f'(x_0)\right). $

Прямая, проходящая через точку $ (x_0,f(x_0)) $ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $ \operatorname{tg}(\alpha) = f'(x_0), $ задаётся уравнением касательной:

$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0). $

Односторонние полукасательные Править

  • Если существует правая производная $ f'_+(x_0) < \infty, $ то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется луч
$ y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \ge x_0. $
  • Если существует левая производная $ f'_-(x_0) < \infty, $ то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется луч
$ y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \le x_0. $
  • Если существует бесконечная правая производная $ f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty), $ то правой полукасательной к графику функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется луч
$ x = x_0, \; y \ge f(x_0)\; (y \le f(x_0)). $
  • Если существует бесконечная левая производная $ f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty), $ то правой полукасательной к графику функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется луч
$ x = x_0, \; y \le f(x_0)\; (y \ge f(x_0)). $

См. также Править