Викия

Математика

Касательная прямая

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:Tangent to a curve.svg

Каса́тельная пряма́я в математическом анализе — прямая, проходящая через точку графика функции и имеющая такой же наклон.

Определение Править

Замечание Править

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x_0,f(x_0)). Угол наклона касательной прямой \alpha удовлетворяет уравнению

\operatorname{tg}(\alpha) = f'(x_0),

где \operatorname{tg} обозначает тангенс.

Касательная как предельное положение секущей Править

Файл:Derivative.gif

Пусть f:U(x_0) \to \R, и x_1 \in U(x_0). Тогда прямая линия, проходящая через точки (x_0,f(x_0)) и (x_1,f(x_1)) задаётся уравнением

y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).

Эта прямая проходит через точку (x_0,f(x_0)) для любого x_1\in U(x_0), и её угол наклона \alpha(x_1) удовлетворяет уравнению

\operatorname{tg} (\alpha(x_1)) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.

В силу существования производной функции f в точке x_0, переходя к пределу при x_1 \to x_0, получаем, что существует предел

\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}(\alpha(x_1)) = f'(x_0),

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

\alpha = \operatorname{arctg}\left(f'(x_0)\right).

Прямая, проходящая через точку (x_0,f(x_0)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий \operatorname{tg}(\alpha) = f'(x_0), задаётся уравнением касательной:

y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).

Односторонние полукасательные Править

y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \ge x_0.
  • Если существует левая производная f'_-(x_0) < \infty, то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x_0 называется луч
y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \le x_0.
  • Если существует бесконечная правая производная f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty), то правой полукасательной к графику функции f в точке x_0 называется луч
x = x_0, \; y \ge f(x_0)\; (y \le f(x_0)).
  • Если существует бесконечная левая производная f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty), то правой полукасательной к графику функции f в точке x_0 называется луч
x = x_0, \; y \le f(x_0)\; (y \ge f(x_0)).

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики