Викия

Математика

Интерполяционные формулы

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции \ y=f(x) при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен \ P_n(x) степени \ n, значения которого в заданных точках x_0, \ x_1, \ \ldots, \ x_n совпадают со значениями y_0, \ y_1, \ \ldots, \ y_n функции  \ f в этих точках. Многочлен \ P_n(x) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа[1] Править

См. также основную статью: Интерполяционный многочлен Лагранжа

f(x) \approx P_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k \frac {(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1}) \ldots  (x-x_n)} {(x_k-x_0)(x_k-x_1) \ldots  (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1}) \ldots  (x_k-x_n)}

Ошибка, совершенная при замене функции \ f(x) выражением \ P_n(x), не превышает по абсолютной величине

M \frac {|(x-x_0)(x-x_1) \ldots (x-x_n)|} {(n+1)!},

где —  \ M — максимум абсолютной величины  \ (n+1)-й производной \ f^{n+1}(x) функции \ f(x) на отрезке \lbrack x_0, \ x_n \rbrack.

Интерполяционная формула Ньютона Править

Если точки x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n расположены на равных расстояниях \ (x_k = x_0 + kh), многочлен \ P_n(x) можно записать так:


 P_n(x + th) = y_0 + \frac{t}{1!} \Delta y_0 + \frac{t(t-1)}{2!} \Delta^2 y_0 + \ldots + \frac{t(t-1) \cdots (t-n+1)}{n!} \Delta^n y_0


(здесь \ x_0 + th = x, а \ \Delta^k — разности k-ого порядка: \ \Delta^k y_i = \Delta^{k-1} y_{i+1} - \Delta^{k-1} y_i ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения \ y, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от \ x_0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений \ x, близких к \ x_0. При интерполировании функций для значений \ x, близких к \ x_k, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).


Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

Интерполяционная формула Стирлинга Править

f(x_0 + th) = y_0 \ + \ \frac{t}{1!} \mu \delta y_0 \ + \ \frac{t^2}{2!} \delta^2  y_0 \ + \ \frac{t(t^2- 1^2)}{3!} \mu \delta^3 y_0 \ + \ \frac{t^2(t^2-1^2)}{4!} \delta^4 y_0 \ + \


 \ + \ \frac{t(t^2-1^2)(t^2-2^2)}{5!} \mu \delta^5 y_0 \ + \ \cdots  \ + \ \frac{t^2(t^2-1^2)(t^2-2^2) \cdots [t^2-(k-1)^2]}{(2k)!} \delta^{2k} y_0

(о значении символа \ \mu и связи центральных разностей \ \delta^m с разностями \ \Delta^ m см. ст. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений \ x, близких к одному из средних узлов \ a; в этом случае естественно взять нечётное число узлов x_{-k},\ \ldots,\ x_{-1},\ x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n, считая \ a центральным узлом \ x_0.

Интерполяционная формула Бесселя Править

f(x_0 + th) \approx \mu y_{1/2} \ + \ \frac {(t-1/2)}{1!}\delta y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)}{2!}\mu \delta^2y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}\delta^3 y_{1/2} \ + \


 \ + \ \frac {t(t-1)(t + 1)(t-2)}{4!} \mu\delta^4 y_{1/2} \ + \ \frac {t(t-1)(t + 1)(t-2)(t-1/2)}{5!} \delta^5 y_{1/2}  \ + \ \cdots \ \ + \


 \ + \ \frac {t(t- 1)(t + 1) \cdots (t-k)(t + k-1)(t-1/2)}{(2k + 1)!}\delta^{2k + 1} y_{1/2}

применяется при интерполировании функций для значений \ x, близких середине \ a между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов x_{-k},\ \ldots,\ x_{-1},\ x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_k,\ x_{k+1}, и располагать их симметрично относительно a (x_0\ < a\ <\ x_1).

Литература Править

  • Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;

Примечания Править

  1. http://www.oleanser.ru/index12.htm

Ссылки Править


Эта статья содержит материал из статьи Интерполяционные формулы русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики