Викия

Математика

Интегрирование по частям

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

для определённого:

\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Предполагается, что нахождение интеграла \int v\, du проще, чем \int u\, dv\,. В противном случае применение метода не оправдано.

Получение формул Править

Для неопределённого интеграла Править

Функции \textstyle\mathit{u} и \textstyle\mathit{v} гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

d(u\,v) = v\,du+u\,dv

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

\int d(u\,v) = \int v\,du+\int u\,dv

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

u\,v = \int v\,du+\int u\,dv

После перестановок:

\int u\,dv = u\,v-\int v\,du

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x - \int \frac{-1}{x^2}\cdot x dx=1+\int \frac{dx}{x}

Отсюда «следствие»: 0=1, что очевидно неверно.

для определённого интеграла Править

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

d(u\,v)=v\,du+u\,dv
\int\limits_a^b d(u\,v)=\int\limits_a^b v\,du+\int\limits_a^b u\,dv
\int\limits_a^b u\,dv=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\,du

Примеры Править

  • \int x\cos x \,dx = \int x\,d(\sin x) =x\sin x - \int \sin x \,dx= x\sin x + \cos x + C
  • \int e^x\,x\,dx=\int x\,(e^x\,dx)=\int x\,de^x=x\,e^x-\int e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C
  • Иногда этот метод применяется несколько раз:
\int x^2\sin x \,dx=\int x^2\,d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos x\,dx=
=-x^2\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^2\cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x \,dx = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
\int \ln x\,dx=x\ln x-\int \frac{1}{x}x\,dx=x\ln x-x+C
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\int \frac{x}{1+x^2}\,dx=x\,\operatorname{arctg}\,x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C
  • В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
I_1=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(-\frac{1}{\beta}\cos{\beta x}\Big)=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}\,dx=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2
I_2=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=
=\int e^{\alpha x}\,d\Big(\frac{1}{\beta}\sin{\beta x}\Big)=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-\frac{\alpha}{\beta} \int e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}\,dx=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
Таким образом один интеграл выражается через другой:
\begin{cases}
     I_1=-\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\cos{\beta x}+\frac{\alpha}{\beta}\,I_2 \\
     I_2=\frac{1}{\beta}\,e^{\alpha x}\,\sin{\beta x}-\frac{\alpha}{\beta}\,I_1
\end{cases}
Решив полученную систему, получаем:
I_1=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\sin{\beta x}-\beta\cos{\beta x}\Big)+C
I_2=\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}\Big(\alpha\cos{\beta x}+\beta\sin{\beta x}\Big)+C

Викия-сеть

Случайная вики