Викия

Математика

Интеграл Римана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:RiemannInt.png

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание Править

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения Править

Через интегральные суммыПравить

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b — конечное множество попарно различных точек отрезка - P. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [x_{i-1}, x_{i}],\; i=1\dots n. Длина наибольшего из отрезков d = \max (\Delta x_i ), где \Delta x_i  = x_i  - x_{i - 1} , называется диаметром разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке \xi _i \in [x_{i-1}, x_i]. Интегральной суммой называется выражение \sigma _x  = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }.

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора \xi _i \in [x_{i-1}, x_i], то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. \int\limits_a^b f(x)dx  = \lim \limits_{d \to 0} \sigma _x = \lim \limits_{d \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i } = I

Число I определено, если

\forall\varepsilon>0\exists N>0:\forall P(d<N\Rightarrow|\sigma _x -I|<\varepsilon),

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].

Через суммы Дарбу Править

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим прои ==

Текст заголовка Править

==

Текст заголовка Править

==

Текст заголовка Править

Шаблон:Unicode ==

==
==

Свойства Править

  • Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a).
  • Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.
  • Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a_1,b_1], где a\le a_1 < b_1\le b.
  • Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c] и \int\limits_a^c f(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_b^c f(x)dx.
  • Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и \alpha, \beta \in {\Bbb R}, то функция \alpha f + \beta g тоже интегрируема, и
\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x)) dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)dx + \beta \int\limits_a^b g(x)dx
\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx

См. также Править

Ссылки Править

cs:Riemannův integrálhu:Riemann-integrállt:Rymano integralas nl:Riemannintegratie pl:Całka Riemannascn:Ntegrali di Riemann sk:Riemannov integrál sv:Riemann-integral

Викия-сеть

Случайная вики