ФЭНДОМ


Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

ОпределениеПравить

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $ (X,\mathcal{F},\mu) $, и на нем определена измеримая функция $ f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) $.

Определение 1. Пусть $ \,f $индикатор некоторого измеримого множества, т.е. $ f(x) = \mathbf{1}_A(x) $, где $ A \in \mathcal{F} $. Тогда интеграл Лебега функции $ \,f $ по определению:

$ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ). $

Определение 2. Пусть $ \,f $простая функция, т.е. $ f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x) $, где $ \{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R} $, а $ \{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F} $ — конечное разбиение $ \,X $ на измеримые множества. Тогда

$ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i) $.

Определение 3. Пусть теперь $ \,f $ — неотрицательная функция, т.е. $ f(x) \geq 0\; \forall x\in X $. Рассмотрим все простые функции $ \,\{f_s\} $, такие что $ f_s(x) \leq f(x)\; \forall x\in X $. Обозначим это семейство $ \mathcal{P}_f $. Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от $ f $ задаётся формулой:

$ \int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\} $

Наконец, если функция $ f $ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$ \,f(x) = f^+(x) - f^-(x), $

где

$ f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x)) $.

Определение 4. Пусть $ \,f $ — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

$ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx) $.

Определение 5. Пусть наконец $ A \in \mathcal{F} $ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$ \int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx) $,

где $ \mathbf{1}_A(x) $индикатор-функция множества $ A $.

ПримерПравить

Рассмотрим функцию Дирихле $ f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x) $, заданную на $ ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m) $, где $ \mathcal{B}([0,1]) $ - борелевская σ-алгебра на $ \,[0,1] $, а $ \,m $ - мера Лебега. Эта функция принимает значение $ \,1 $ в рациональных точках и $ \,0 $ в иррациональных. Легко увидеть, что $ \,f $ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$ \int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0. $

ЗамечанияПравить

  • Так как $ \,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x) $, измеримая функция $ \,f(x) $ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $ \,|f(x)| $ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
  • В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
  • Если функция определена на вероятностном пространстве $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Простейшие свойства интеграла ЛебегаПравить

  • Интеграл Лебега линеен, т.е.
$ \int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx) $,

где $ a,b\in \mathbb{R} $ - произвольные константы;

  • Интеграл Лебега сохраняет неравенства, т.е. если $ 0 \leq f(x) \leq g(x) $ п.в., и $ \,g(x) $ интегрируема, то интегрируема и $ \,f(x) $, и более того
$ 0 \leq \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leq \int\limits_X g(x)\, \mu(dx) $;
  • Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, т.е. если $ \,f(x) = g(x) $ п.в., то
$ \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx) $.

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функцийПравить


Эта статья содержит материал из статьи Интеграл Лебега русской Википедии.