Викия

Математика

Интеграл Лебега

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

ОпределениеПравить

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой (X,\mathcal{F},\mu), и на нем определена измеримая функция f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})).

Определение 1. Пусть \,fиндикатор некоторого измеримого множества, т.е. f(x) = \mathbf{1}_A(x), где A \in \mathcal{F}. Тогда интеграл Лебега функции \,f по определению:

 \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).

Определение 2. Пусть \,fпростая функция, т.е. f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x), где \{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}, а \{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F} — конечное разбиение \,X на измеримые множества. Тогда

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i).

Определение 3. Пусть теперь \,f — неотрицательная функция, т.е. f(x) \geq 0\; \forall x\in X. Рассмотрим все простые функции \,\{f_s\}, такие что f_s(x) \leq f(x)\; \forall x\in X. Обозначим это семейство \mathcal{P}_f. Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега. Тогда интеграл от f задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}

Наконец, если функция f произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),

где

f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x)).

Определение 4. Пусть \,f — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx).

Определение 5. Пусть наконец A \in \mathcal{F} произвольное измеримое множество. Тогда по определению

\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx),

где \mathbf{1}_A(x)индикатор-функция множества A.

ПримерПравить

Рассмотрим функцию Дирихле f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x), заданную на ([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m), где \mathcal{B}([0,1]) - борелевская σ-алгебра на \,[0,1], а \,m - мера Лебега. Эта функция принимает значение \,1 в рациональных точках и \,0 в иррациональных. Легко увидеть, что \,f не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.

ЗамечанияПравить

  • Так как \,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x), измеримая функция \,f(x) интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция \,|f(x)| интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
  • В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
  • Если функция определена на вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Простейшие свойства интеграла ЛебегаПравить

  • Интеграл Лебега линеен, т.е.
\int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx) ,

где a,b\in \mathbb{R} - произвольные константы;

  • Интеграл Лебега сохраняет неравенства, т.е. если 0 \leq f(x) \leq g(x) п.в., и \,g(x) интегрируема, то интегрируема и \,f(x), и более того
0 \leq \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leq \int\limits_X g(x)\, \mu(dx);
  • Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, т.е. если \,f(x) = g(x) п.в., то
\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функцийПравить


Эта статья содержит материал из статьи Интеграл Лебега русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики