Интеграл Лебега
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Интеграл Лебега — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определенные на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определенных на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.
Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.
Содержание |
[править] Определение
Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой 
, и на нем определена измеримая функция 
.
Определение 1. Пусть 
— индикатор некоторого измеримого множества, т.е. 
, где 
.
Тогда интеграл Лебега функции по определению:
Определение 2. Пусть — простая функция, т.е. 
, где 
, а 
— конечное разбиение 
на измеримые множества.
Тогда
.
Определение 3. Пусть теперь — неотрицательная функция, т.е. 
.
Рассмотрим все простые функции 
, такие что 
.
Обозначим это семейство 
. Для каждой функции из этого семейства уже определен интеграл Лебега.
Тогда интеграл от 
задаётся формулой:
Наконец, если функция произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:
где
.
Определение 4. Пусть — произвольная измеримая функция.
Тогда ее интеграл задаётся формулой:
.
Определение 5. Пусть наконец произвольное измеримое множество. Тогда по определению
,
где 
— индикатор-функция множества 
.
[править] Пример
Рассмотрим функцию Дирихле 
, заданную на 
, где 
- борелевская σ-алгебра на 
, а 
- мера Лебега. Эта функция принимает значение 
в рациональных точках и 
в иррациональных. Легко увидеть, что не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:
[править] Замечания
- Так как
, измеримая функция 
интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция 
интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
- В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
- Если функция определена на вероятностном пространстве
и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.
[править] Простейшие свойства интеграла Лебега
- Интеграл Лебега линеен, т.е.
,
где 
- произвольные константы;
- Интеграл Лебега сохраняет неравенства, т.е. если
п.в., и 
интегрируема, то интегрируема и , и более того
;
- Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, т.е. если
п.в., то
.
[править] Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций
Эта статья содержит материал из статьи Интеграл Лебега русской Википедии.
