Викия

Математика

Интеграл Даниэля

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Перси Джоном Дэниэлем в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стильтьеса).

Определение Править

Основная идея состоит в аксиоматизации понятия интеграла. Рассмотрим семейство H ограниченных действительнозначных функций (называемое элементарные функции), определённых на множестве X, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. \ H — линейное пространство с обычными операциями сложения и скалярного умножения.

2. \ h(x) \in H \Rightarrow |h(x)| \in H.

Кроме того, на пространстве элементарных функций определяется положительно определённый непрерывный линейный функционал I, называемый элементарный интеграл.

В этих терминах можно определить множества меры ноль. Множество \ Z, являющееся подмножеством \ X, имеет меру ноль, если для любого \ \epsilon > 0 существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций \ h_p(x) \in H такая, что \ Ih_p < \epsilon и \sup_p h_p(x) \ge 1 на \ Z.

Если некоторое условие выполняется на \ X везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество L^+, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей {\lbrace h_n \rbrace} элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов Ih_n ограничено. Интеграл функции \ f \in L^+ по определению равен:

\ If = \lim_{n \to \infty} Ih_n

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности \ {\lbrace h_n \rbrace}.

Свойства Править

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Риса-Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Дэниэля Править

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Дэниэля. Если взять характеристическую функцию \ \chi(x) некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

Преимущества перед классическими определениями Править

Такое построение обобщенного интеграла имеет некоторые преимущества перед методом Лебега, особенно в функциональном анализе. Конструкции Лебега и Дэниэля эквивалентны, если рассматтривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу. По Дэниэлю интеграл строится более просто.

См. также Править

Ссылки Править

  • Daniell, Percy John, 1918, "A general form of integral, " Annals of Mathematics 19:: 279-94.
  • ------, 1919, "Integrals in an infinite number of dimensions, " Annals of Mathematics 20: 281-88.
  • ------, 1919, "Functions of limited variation in an infinite number of dimensions, " Annals of Mathematics 21: 30-38.
  • ------, 1920, "Further properties of the general integral, " Annals of Mathematics 21: 203-20.
  • ------, 1921, "Integral products and probability, " American Journal of Mathematics 43: 143-62.
  • Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

pl:Całka Daniella-Stone'a


Викия-сеть

Случайная вики