Викия

Математика

Интегральный признак Коши

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Интегральный признак Коши — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на [1,\infty), последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы Править

Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. f(x)>0 \ \forall x (функция принимает только положительные значения)
  2. f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2 (функция монотонно убывает)
  3. f(n) = a_n

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty a_n и несобственный интеграл \int_1^\infty f(x)\,dx сходятся или расходятся одновременно. Интегральный признак Коши/рамка

Набросок доказательстваПравить

  1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
  2. Площадь большей фигуры равна S_b=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)
  3. Площадь меньшей фигуры равна S_s=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)
  4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна S_{tr}=\int_1^n f(x)\,dx
  5. Получаем S_s \le S_{tr} \le S_b \;  \Rightarrow \; S_n - a_1 \le \int_1^n f(x)\,dx \le S_{n-1}
  6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

ПримерыПравить

  • \sum\frac1n расходится так как \int_1^\infty\frac1xdx=\ln|_1^\infty=\infty.
  • \sum\frac1{n^2} сходится так как \int_1^\infty\frac1{x^2}dx=-\left.\frac1x\right|_1^\infty=1.

Оценка остатка ряда Править

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток r_n знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

S_n - a_1 \le \int_1^n f(x)\,dx \le S_{n-1}

с помощью несложных преобразований получаем:

\int_{n+1}^\infty f(x)\,dx \le r_n \le a_{n+1} \int_{n+1}^\infty f(x)\,dx.

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики