Викия

Математика

Инверсия (геометрия)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности или сферы есть преобразование определённого типа евклидовой плоскости или евклидова пространства с выколотой точкой.

ОпределениеПравить

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность \Gamma с центром O (называемым полюсом инверсии, эта точка выколота) и радиусом R. Инверсия точки P относительно \Gamma есть точка P', лежащая на луче OP такая, что

|OP'|\cdot|OP|=R^2.

Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» \infty и считают её инверсией O, а O инверсией \infty. В этом случае, инверсия является преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы.

Свойства Править

Пусть i обозначает инверсию относительно окружности \Gamma с центром O, тогда

  • Инверсия является инволюцией, т.е. i(i(P)) = P для любой P;
  • прямая проходящая через O переходит в себя;
  • прямая не проходящая через O переходит в окружность проходящую через O;
  • окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O;
  • окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящей через O (но образ её центра не является центром образа);
  • инверсия является антиголоморфным отображением комплексной плоскости. В частности:
  • Окружность или прямая перпендикулярная к \Gamma переходит в себя.

Координатные представления Править

Декартовы координатыПравить

Инверсия относительно единичной окружности с центром в точке начале координат может задаваться соотношением:

(x,y)\mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right).

если точку плоскости задать одной комплексной координатой z=x+iy то это выражение можно переписать как

z\mapsto (\bar z)^{-1},

где \bar zкомплексно сопряжённое число для z.

В общем случае, инверсия относительно окружности с центром в точке O=(x_0,y_0) и радиусом r можно задать следующими соотношениями:

(x,y)\mapsto \left(x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right).

Полярные координаты Править

Инверсия относительно окружности радиуса r с центром в точке начале координат может задаваться соотношением:

(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^2/\rho)

Подобные соотношения в общем случае достаточно громоздки.

Ссылки Править

Викия-сеть

Случайная вики