Викия

Математика

Измеримая функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Определение Править

Пусть (X,\mathcal{F}) и (Y,\mathcal{G}) суть два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция f: X\to Y называется \mathcal{F} / \mathcal{G}-измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из \mathcal{G} принадлежит \mathcal{F}, то есть

\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},

где f^{-1}(B) означает полный прообраз множества B.

Замечание Править

Вещественнозначные измеримые функции Править

Пусть дана функция f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})). Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

  • Функция f измерима, если
\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}.
  • Функция f измерима, если
\forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a \le b, имеем \{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F},

где |a,b| обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения Править

Примеры Править

  • Пусть f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
  • Пусть f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), и f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in Xиндикатор множества A \not\in \mathcal{F}. Тогда функция f не является измеримой.


Эта статья содержит материал из статьи Измеримая функция русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики