Измеримая функция
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.
Содержание |
[править] Определение
Пусть 
и 
суть два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция 
называется 
-измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из 
принадлежит 
, то есть
где 
означает полный прообраз множества 
.
[править] Замечание
- Если
и 
— топологические пространства, и алгебры и явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
[править] Вещественнозначные измеримые функции
Пусть дана функция 
. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:
- Функция
измерима, если
-
.
- Функция измерима, если
-
, таких что 
, имеем 
,
где 
обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.
[править] Связанные определения
- Пусть
и 
— две копии вещественной прямой вместе с ее борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция 
называется борелевской.
- Измеримая функция
, где 
— множество элементарных исходов, а — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом.
[править] Примеры
- Пусть
— непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
- Пусть
и 
— индикатор множества 
Тогда функция не является измеримой.
Эта статья содержит материал из статьи Измеримая функция русской Википедии.
