Викия

Математика

Знакочередующийся ряд

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n, \; a_n>0

Признак Лейбница

Признак Лейбница — признак <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0441%5Cu0445%5Cu043e%5Cu0434%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0438%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0441%5Cu0445%5Cu043e%5Cu0434%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0441%5Cu0445%5Cu043e%5Cu0434%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu044c%7C%5Cu0441%5Cu0445%5Cu043e%5Cu0434%5Cu0438%5Cu043c%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0438%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" href="/wiki/%D0%A1%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Сходимость">сходимости</a> знакочередующегося ряда, установлен <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0413%5Cu043e%5Cu0442%5Cu0444%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0434%5Cu043e%5Cu043c%20%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0439%5Cu0431%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0446%5Cu0435%5Cu043c%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0439%5Cu0431%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0446%2C%20%5Cu0413%5Cu043e%5Cu0442%5Cu0444%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0434%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0439%5Cu0431%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0446%2C%20%5Cu0413%5Cu043e%5Cu0442%5Cu0444%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0434%7C%5Cu0413%5Cu043e%5Cu0442%5Cu0444%5Cu0440%5Cu0438%5Cu0434%5Cu043e%5Cu043c%20%5Cu041b%5Cu0435%5Cu0439%5Cu0431%5Cu043d%5Cu0438%5Cu0446%5Cu0435%5Cu043c%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86,_%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D0%B8%D0%B4?action=edit&redlink=1" class="new" title="Лейбниц, Готфрид (страница не существует)">Готфридом Лейбницем</a>. Формулировка теоремы: <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22double-brackets%22%2C%22lineStart%22%3A%221%22%2C%22title%22%3A%22%5Cu0420%5Cu0430%5Cu043c%5Cu043a%5Cu0430%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%7B%7B%5Cu0420%5Cu0430%5Cu043c%5Cu043a%5Cu0430%7D%7D%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" class="placeholder placeholder-double-brackets" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="double-brackets" /> Пусть для ряда

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%20%5C%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5C%5Cinfty%20b_n%20%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />

выполняются следующие условия:

  1. <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Eb_n%20%3D%20%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%5C%5C%2Ca_n%2C%20%5C%5C%3B%20a_n%3E0%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> (знакочередование)
  2. <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Ea_%7Bn%2B1%7D%3Ca_n%20%5C%5C%21%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" /> (монотонное убывание {an})
  3. <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Clim_%7Bn%20%5C%5Cto%20%5C%5Cinfty%7D%20%5C%5C%2C%20a_n%20%3D%200%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />.

Тогда этот ряд сходится. <img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22double-brackets%22%2C%22lineStart%22%3A%221%22%2C%22title%22%3A%22%5C%2F%5Cu0440%5Cu0430%5Cu043c%5Cu043a%5Cu0430%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%7B%7B%5C%2F%5Cu0440%5Cu0430%5Cu043c%5Cu043a%5Cu0430%7D%7D%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" class="placeholder placeholder-double-brackets" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="double-brackets" /> Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu043e%5Cu043a%20%5Cu0440%5Cu044f%5Cu0434%5Cu0430%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu043e%5Cu043a%20%5Cu0440%5Cu044f%5Cu0434%5Cu0430%22%2C%22wasblank%22%3Atrue%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu043e%5Cu0441%5Cu0442%5Cu0430%5Cu0442%5Cu043e%5Cu043a%20%5Cu0440%5Cu044f%5Cu0434%5Cu0430%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B0" title="Остаток ряда">остаток ряда</a> rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

<img data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5C%5Cleft%7C%20r_n%20%5C%5Cright%7C%20%3C%20a_%7Bn%2B1%7D%20%5C%5C%21%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D" data-rte-instance="2561-14461113374ffc51b211d78" class="placeholder placeholder-ext" src="data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D" type="ext" />.

Абсолютная и условная сходимостьПравить

Ряд абсолютно сходится, если сходится ряд, составленный из модулей членов этого ряда.

Если ряд сходится, но не является абсолютно сходящимся, то он называется условно сходящимся.

Сходимость ряда из модулей как достаточное условие сходимости ряда Править

Теорема:

Если ряд сходится абсолютно, то он сходится, то есть существует предел его частичных сумм.

\sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right| сходится  \rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n также сходится.

Знакочередующийся ряд/рамка Другими словами, абсолютная сходимость «сильнее» «простой» сходимости.

Свойства абсолютно сходящихся рядов Править

nl:Alternerende reeks

pl:Szereg przemienny sv:Alternerande serie

Викия-сеть

Случайная вики