Викия

Математика

Заряд (теория меры)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, опредёленная на произвольной \sigma-алгебре,(например,борелевских подмножеств). Термин заряд был впервые введен академиком А.Д. Александровым, связи с его ярким физичексим смыслом. В отличии от обычной меры под которой, обычно понимают положительную \sigma-аддитивную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения и необязательно быть счетно-аддитивным. Изучение заряда послужило точком для развития конечно-аддитивной теории меры (40-ые года 20 века). Таким образом, термин заряд и конечно-аддитивная мера это синонимы. Множество всех зарядов над произвольным множеством X c сигма-алгеброй \Sigma принято обозначать ba(X,\Sigma). Известно, что множество всех зарядов образует нормированую решетку и даже более, того К-пространство. Таким образом, для любого заряда \nu имеется положетельную часть \nu^{+}\ge 0 и отрицательную часть \nu^{-}\ge 0. Имеет место разложение Хана—Жордана \nu=\nu^+- \nu^- В силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.

Пусть \mu\in ba(X,\Sigma).</br> Для любой заряда \nu единственным образом представим ввиде суммы \nu=\nu_{1}+\nu_{2}, где \nu_{1} абсолютно непрерывна относительно \mu и \nu_{2} дизъюнктна \mu. Такое представление меры \nu принято назвать разложение по Лебегу.

Положительный заряд \nu\in ba(X,\Sigma) называется чисто конечно аддитивным если для любой положительной счетно-аддитивной меры \mu из 0\le\mu\le\nu вытекает, что \mu=0. Произвольный заряд чисто конечно аддитивен если таковы заряды \nu^{+} и \nu^{-}. Доказано, что любой заряд \nu\in ba(X,\Sigma) единственным образом представим ввиде суммы \nu=\nu_{ca}+\nu_{pfa}, где \nu_{ca} произвольная счетно-аддитивная мера, а \nu_{pfa} произвольная чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды-Хьюита.

Само пространство ba(X,\Sigma) является топологически сопряженным к пространству измеримых и ограниченных функций заданных над данным измеримым простанством.

ЛитератураПравить

  • Данфорд Н.,Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М: ИЛ, 1962
  • Alexandroff A.D. Additive set-functions in abstract spaces I// Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348
  • Alexandroff A.D. Additive set-functions in abstract spaces II// Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628
  • Alexandroff A.D. Additive set-functions in abstract spaces III// Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293
  • Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v.72, N 1. P.46-66

Викия-сеть

Случайная вики