Викия

Математика

Замыкание (геометрия)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В геометрии и топологии замыка́ние подмножества топологического пространства — это пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих данное подмножество. Эквивалентно, замыкание подмножества — это совокупность всех его точек прикосновения.

Точка прикосновения Править

Определение Править

Пусть задано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), и подмножество M \subset X. Точка x \in X называется то́чкой прикоснове́ния множества M, если любая её окрестность пересекается с M. То есть,

 \forall U \in \mathcal{T}\quad ( x \in U ) \Rightarrow (U \cap M \not= \emptyset).

Замечание Править

Очевидно, если x\in M, то x является точкой прикосновения. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры Править

Пусть X = \mathbb{R} - множество действительных чисел со стандартной топологией, и M = (a,b) - произвольный интервал. Тогда любая точка x\in [a,b] является точкой прикосновения M.

Замыкание Править

ОпределениеПравить

Совокупность всех точек прикосновения множества M \subset X называется замыканием M и обозначается \bar{M} или \mathrm{cl}(M).

Свойства Править

  1. Операция замыкания является унарной операцией на множестве всех подмножеств X.
  2. Замыкание множества содержит само множество, то есть M \subset \bar{M}.
  3. Замыкание множества замкнуто.
  4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть M = \bar{M}.
  5. В частности, \bar{X} = X,\; \bar{\emptyset} = \emptyset.
  6. \bar{\bar{M}} = \bar{M}.
  7. Замыкание множества M является наименьшим замкнутым множеством, содержащим M, то есть \bar{M} = \bigcap \left\{C \supset M \mid C = \bar{C}\right\}.
  8. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть (M \subset N) \Rightarrow \left( \bar{M} \subset \bar{N} \right).
  9. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть \overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}.
  10. Замыкание пересечения есть подмножество пересечения замыканий (но, вообще говоря, не равно ему), то есть \overline{A \cap B} \subset \bar{A} \cap \bar{B}.

Замечание Править

Свойство 7 часто принимается в качестве определения замыкания. Данное выше определение тогда выводится в качестве одного из свойств.

Примеры Править

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространство является числовая прямая \mathbb{R} с заданной на ней стандартной топологией.

pl:Domknięcie

Викия-сеть

Случайная вики