В геометрии и топологии замыка́ние подмножества топологического пространства — это пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих данное подмножество. Эквивалентно, замыкание подмножества — это совокупность всех его точек прикосновения.
Точка прикосновения[]
Определение[]
Пусть задано топологическое пространство , и подмножество . Точка называется то́чкой прикоснове́ния множества , если любая её окрестность пересекается с . То есть,
Замечание[]
Очевидно, если , то является точкой прикосновения. Обратное, вообще говоря, неверно.
Примеры[]
Пусть - множество действительных чисел со стандартной топологией, и - произвольный интервал. Тогда любая точка является точкой прикосновения .
Замыкание[]
Определение[]
Совокупность всех точек прикосновения множества называется замыканием и обозначается или .
Свойства[]
- Операция замыкания является унарной операцией на множестве всех подмножеств .
- Замыкание множества содержит само множество, то есть .
- Замыкание множества замкнуто.
- Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть .
- В частности,
- Замыкание множества является наименьшим замкнутым множеством, содержащим , то есть
- Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
- Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
- Замыкание пересечения есть подмножество пересечения замыканий (но, вообще говоря, не равно ему), то есть
Замечание[]
Свойство 7 часто принимается в качестве определения замыкания. Данное выше определение тогда выводится в качестве одного из свойств.
Примеры[]
Во всех нижеследующих примерах топологическим пространство является числовая прямая с заданной на ней стандартной топологией.
- ;
- , где - множество рациональных чисел.
cs:Uzávěr množiny he:סגור (טופולוגיה) pl:Domknięcie