Wikia

Математика

Замечательные пределы

Обсуждение0
1426статей на этой вики

Замечательный тригонометрический предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 (без доказательства)

Следствия

\lim_{x \to 0}\frac{\sin \alpha x}{hx} = k

\lim_{x \to 0}\frac{\sin \alpha x}{hx} = k: \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1

\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1

Доказательство следствий

\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{k \sin kx}{kx} = k
\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = \arcsin x \\
  x = \sin u \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\sin u} = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = \arctan x \\
  x = \tan u \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\tan u} = 1

Замечательный показательно-степенной предел Править

\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e (без доказательства)

Следствия

\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k

Доказательство следствия

\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x =
\left [ \begin{matrix}
  u = \frac{k}{x} \\
  x = \frac{k}{u} \\
  u \to 0 \\
  x \to \infty
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{k}{u} =
(\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u})^k =
e^k

Замечательный логарифмический предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1

Доказательство предела

  • Используя замечательный показательно-степенной предел: \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1
  • Используя правило Лопиталя: \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = (0/0) =\lim_{x \to 0}\frac{(\ln(1 + x))'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+x} = 1

Замечательный показательный предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1

Следствия

\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1 для a > 0 \,\!, a \neq 1 \,\!

Доказательство предела

\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = e^x - 1 \\
  x = \ln(1 + u) \\
  x \to 0 \\
  u \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1

Доказательство следствия


\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} =
\left [ \begin{matrix}
  u = x \ln a \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1

Замечательный степенной предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha (без доказательства)

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики