Викия

Математика

Замечательные пределы

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Замечательный тригонометрический предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 (без доказательства)

Следствия

\lim_{x \to 0}\frac{\sin \alpha x}{hx} = k
\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1

Доказательство следствий

\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{k \sin kx}{kx} = k
\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = \arcsin x \\
  x = \sin u \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\sin u} = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = \arctan x \\
  x = \tan u \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\tan u} = 1

Замечательный показательно-степенной предел Править

\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e (без доказательства)

Следствия

\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k

Доказательство следствия

\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x =
\left [ \begin{matrix}
  u = \frac{k}{x} \\
  x = \frac{k}{u} \\
  u \to 0 \\
  x \to \infty
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{k}{u} =
(\lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u})^k =
e^k

Замечательный логарифмический предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1

Доказательство предела

  • Используя замечательный показательно-степенной предел: \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1
  • Используя правило Лопиталя: \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = (0/0) =\lim_{x \to 0}\frac{(\ln(1 + x))'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+x} = 1

Замечательный показательный предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1

Следствия

\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1 для a > 0 \,\!, a \neq 1 \,\!

Доказательство предела

\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = e^x - 1 \\
  x = \ln(1 + u) \\
  x \to 0 \\
  u \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1

Доказательство следствия


\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} =
\left [ \begin{matrix}
  u = x \ln a \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1

Замечательный степенной предел Править

\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha (без доказательства)

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики