Закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.

Cлабый закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин $\{ X_i \}_{i=1}^\infty$, определённых на одном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. То есть $\mathrm{cov}(X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j$. Пусть $\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}$. Обозначим $S_n$ выборочное среднее первых $n$ членов:

$S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}$.

Тогда $S_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \mu$.

Усиленный закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин $\{ X_i \}_{i=1}^\infty$, определённых на одном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Пусть $\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}$. Обозначим $S_n$ выборочное среднее первых $n$ членов:

$S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}$.

Тогда $S_n \to \mu$почти наверняка.

Эта статья содержит материал из статьи Закон больших чисел русской Википедии.