ФЭНДОМ


Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.

Cлабый закон больших чиселПравить

Пусть есть бесконечная последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин $ \{X_i\}_{i=1}^{\infty} $, определённых на одном вероятностном пространстве $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $. То есть $ \mathrm{cov}(X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j $. Пусть $ \mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N} $. Обозначим $ S_n $ выборочное среднее первых $ n $ членов:

$ S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N} $.

Тогда $ S_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \mu $.

Усиленный закон больших чиселПравить

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин $ \{X_i\}_{i=1}^{\infty} $, определённых на одном вероятностном пространстве $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $. Пусть $ \mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N} $. Обозначим $ S_n $ выборочное среднее первых $ n $ членов:

$ S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N} $.

Тогда $ S_n \to \mu $почти наверняка.



Эта статья содержит материал из статьи Закон больших чисел русской Википедии.