Дружественные числа

Дру́жественные чи́сла — два натуральных числа́, для которых сумма всех делителей первого числа́ (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа́ (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные чи́сла: каждое совершенное число дружественно себе. Обычно же, говоря о дружественных числах, имеют в виду пары из двух разных чисел.

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Формулу, дающую 3 пары дружественных чисел, открыл около 850 арабский астроном и математик Табит ибн Кура (826—901): если

$p=3\times 2^{n-1}-1$,

$q=3\times 2^n-1$,

$r=9\times 2^{2n-1}-1$,

где $n>1$ — натуральное число, а $p,\;q,\;r$ — простые числа, то $2^npq$ и $2^nr$ — пара дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для $n=2,\;4,\;7$, но больше никаких пар дружественных чисел для $n<20000$. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле S02

На ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел. Все они состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. Есть ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, их произведение должно быть больше $10^{67}$.

Краткая таблица дружественных чисел

Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.

1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
2. 1184 и 1210 (Паганини, 1860)
3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
6. 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
7. 12285 и 14595 (Браун, 1939)
8. 17296 и 18416 (Ибн ал-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, Пьер, 1636)
   63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
   66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
   67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
   69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
   79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964)
   
   Пары дружественных чисел образуют последовательность:
   220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, … (последовательность A063990 в OEIS)

Внешние ссылки

• Все известные дружественные числа
• Обзорная статья 2003 года о дружественных числах
• Шаблон:Sloane

См. также

• Совершенное число
• Общественные числа

be-x-old:Прыхільныя лікі br:Niver karantezus ca:Nombres amics da:Venskabstal gl:Números amigos he:מספרים ידידים hu:Barátságos számok is:Vingjarnlegar tölur la:Numeri amicabiles lmo:Nümar amiis lt:Draugiškasis skaičius nl:Bevriende getallen no:Vennskapstall pl:Liczby zaprzyjaźnione sl:Prijateljsko število sv:Vänskapliga tal th:จำนวนเชิงมิตร