Викия

Математика

Дополнение (теория множеств)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Разность множеств Править

Определение Править

Разность множества A и множества B - множество, содержащее в себе элементы множества А, но не B.

Пусть даны два множества A и B. Тогда их (теоретико-множественная) разность определяется следующим образом:

A \setminus B = \{ x\in A \mid x \not\in B \}.

Примеры Править

Свойства Править

Пусть A,B,C — произвольные множества. Тогда

  • C \setminus (A \cap B ) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B);
  • C \setminus (A \cup B ) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B);
  • C \setminus( B \setminus A ) = (A \cap C) \cup (C \setminus B);
  • (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A);
  • (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C);
  • A \setminus A = \emptyset;
  • \emptyset \setminus A = \emptyset;
  • A \setminus \emptyset = A.

Компьютерные реализации Править

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

Дополнение множества Править

Определение Править

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсального множества X, то определяется операция дополнения:

A^{\complement} = X \setminus A \equiv \{ x\in X \mid x \not\in A\}.

Свойства Править

  • A \cup A^{\complement} = X;
  • A \cap A^{\complement} = \emptyset;
В частности, если оба A и A^{\complement} непусты, то \left\{A,A^{\complement}\right\} является разбиением X.
  • X^{\complement} = \emptyset;
  • \emptyset^{\complement}=X;
  • (A \subset B) \Leftrightarrow \left(B^{\complement} \subset A^{\complement}\right).
\left(A^{\complement}\right)^{\complement} = A.
  • (A \cup B)^{\complement} = A^{\complement} \cap B^{\complement};
  • (A \cap B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B^{\complement}.
  • Законы разности множеств:
  • A \setminus B = A \cap B^{\complement};
  • (A \setminus B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Дополнение (теория множеств) русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики