Wikia

Математика

Дополнение (теория множеств)

Обсуждение0
1427статей на этой вики

Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Разность множеств Править

Определение Править

Разность множества A и множества B - множество, содержащее в себе элементы множества А, но не B.

Пусть даны два множества A и B. Тогда их (теоретико-множественная) разность определяется следующим образом:

A \setminus B = \{ x\in A \mid x \not\in B \}.

Примеры Править

Свойства Править

Пусть A,B,C — произвольные множества. Тогда

  • C \setminus (A \cap B ) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B);
  • C \setminus (A \cup B ) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B);
  • C \setminus( B \setminus A ) = (A \cap C) \cup (C \setminus B);
  • (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A);
  • (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C);
  • A \setminus A = \emptyset;
  • \emptyset \setminus A = \emptyset;
  • A \setminus \emptyset = A.

Компьютерные реализации Править

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

Дополнение множества Править

Определение Править

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсального множества X, то определяется операция дополнения:

A^{\complement} = X \setminus A \equiv \{ x\in X \mid x \not\in A\}.

Свойства Править

  • A \cup A^{\complement} = X;
  • A \cap A^{\complement} = \emptyset;
В частности, если оба A и A^{\complement} непусты, то \left\{A,A^{\complement}\right\} является разбиением X.
  • X^{\complement} = \emptyset;
  • \emptyset^{\complement}=X;
  • (A \subset B) \Leftrightarrow \left(B^{\complement} \subset A^{\complement}\right).
\left(A^{\complement}\right)^{\complement} = A.
  • (A \cup B)^{\complement} = A^{\complement} \cap B^{\complement};
  • (A \cap B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B^{\complement}.
  • Законы разности множеств:
  • A \setminus B = A \cap B^{\complement};
  • (A \setminus B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Дополнение (теория множеств) русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики