ФЭНДОМ


Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Разность множеств Править

Определение Править

Разность множества A и множества B - множество, содержащее в себе элементы множества А, но не B.

Пусть даны два множества $ A $ и $ B $. Тогда их (теоретико-множественная) разность определяется следующим образом:

$ A \setminus B = \{ x\in A \mid x \not\in B \}. $

Примеры Править

Свойства Править

Пусть $ A,B,C $ — произвольные множества. Тогда

  • $ C \setminus (A \cap B ) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B); $
  • $ C \setminus (A \cup B ) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B); $
  • $ C \setminus( B \setminus A ) = (A \cap C) \cup (C \setminus B); $
  • $ (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A); $
  • $ (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C); $
  • $ A \setminus A = \emptyset; $
  • $ \emptyset \setminus A = \emptyset; $
  • $ A \setminus \emptyset = A. $

Компьютерные реализации Править

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

Дополнение множества Править

Определение Править

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсального множества $ X $, то определяется операция дополнения:

$ A^{\complement} = X \setminus A \equiv \{ x\in X \mid x \not\in A\}. $

Свойства Править

  • $ A \cup A^{\complement} = X; $
  • $ A \cap A^{\complement} = \emptyset; $
В частности, если оба $ A $ и $ A^{\complement} $ непусты, то $ \left\{A,A^{\complement}\right\} $ является разбиением $ X $.
  • $ X^{\complement} = \emptyset; $
  • $ \emptyset^{\complement}=X; $
  • $ (A \subset B) \Leftrightarrow \left(B^{\complement} \subset A^{\complement}\right). $
$ \left(A^{\complement}\right)^{\complement} = A. $
  • $ (A \cup B)^{\complement} = A^{\complement} \cap B^{\complement}; $
  • $ (A \cap B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B^{\complement}. $
  • Законы разности множеств:
  • $ A \setminus B = A \cap B^{\complement}; $
  • $ (A \setminus B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B. $

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Дополнение (теория множеств) русской Википедии.