Дополне́ние в теории множеств — это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Содержание 1 Разность множеств 1.1 Определение 1.2 Примеры 1.3 Свойства 1.4 Компьютерные реализации 2 Дополнение множества 2.1 Определение 2.2 Свойства 2.3 См. также

Разность множеств Править

Определение Править

Разность множества A и множества B - множество, содержащее в себе элементы множества А, но не B.

Пусть даны два множества и . Тогда их (теоретико-множественная) разность определяется следующим образом:

Примеры Править

• Пусть . Тогда
• Пусть — множество всех вещественных чисел, — множество рациональных чисел, а — множество целых чисел. Тогда — множество всех иррациональных чисел, а — дробных.

Свойства Править

Пусть — произвольные множества. Тогда

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Компьютерные реализации Править

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

Дополнение множества Править

Определение Править

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсального множества , то определяется операция дополнения:

Свойства Править

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане
• Законы дополнения:

• 
• 

В частности, если оба и непусты, то является разбиением .

• 
• 
• 

• Операция дополнения является инволюцией:

• Законы де Моргана:

• 
• 

• Законы разности множеств:

• 
• 

См. также Править

• Объединение множеств;
• Пересечение множеств;
• Симметрическая разность.

Эта статья содержит материал из статьи Дополнение (теория множеств) русской Википедии.