Викия

Математика

Доказательство от противного

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Доказательство «от противного» в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы ((A\Rightarrow B) \land \neg B) \Rightarrow \neg A в классической логике и законе двойного отрицания.

Доказательство утверждения A проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение \neg\neg A, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A.

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

Пример Править

Доказательство иррациональности числа \sqrt{2}.

Допустим противное: \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac{m}{n}, где m и nцелые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.

Отсюда следует, что m^2 чётно, значит, чётно и m; следовательно, m^2 делится на 4, а значит, n^2 и n тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби \frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.


cs:Důkaz sporemet:Vastuväiteline tõestushe:הוכחה בדרך השלילה

nl:Reductio ad absurdum no:Reductio ad absurdumpl:Dowód nie wprostsl:Dokaz s protislovjem sr:Свођење на контрадикцију sv:Indirekt beviszh-min-nan:Hoán-chèng-hoat

Викия-сеть

Случайная вики