Фэндом

Математика

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

1458статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Случай известной дисперсииПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) - независимая выборка из нормального распределения, где \sigma^2 - известная дисперсия. Определим произвольное \alpha \in [0,1] и построим доверительный интервал для неизвестного среднего \mu.

Утверждение. Случайная величина

Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

имеет стандартное нормальнодлт еление \mathrm{N}(0,1). Пусть z_{\alpha} - \alpha-процентиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

\mathbb{P}\left(-z_{\frac{1+\alpha}{2}} \le Z \le z_{\frac{1+\alpha}{2}}\right) = \alpha.

После подстановки выражения для Z и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb{P}\left( \bar{X} - z_{\frac{1+\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\frac{1+\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \alpha.

Случай неизвестной дисперсииПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) - независимая выборка из нормального распределения, где \mu,\sigma^2 - неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего \mu.

Утверждение. Случайная величина

T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}},

где S - несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы \mathrm{t}(n-1). Пусть t_{\alpha,n-1} - \alpha-процентиль этого распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

\mathbb{P}\left(-t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1} \le T \le t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1}\right) =\alpha.

После подстановки выражения для T и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb{P}\left( \bar{X} - t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = \alpha.Шаблон:Statistics-stub

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики