Викия

Математика

Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Случай известной дисперсииПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) - независимая выборка из нормального распределения, где \sigma^2 - известная дисперсия. Определим произвольное \alpha \in [0,1] и построим доверительный интервал для неизвестного среднего \mu.

Утверждение. Случайная величина

Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

имеет стандартное нормальное распределение \mathrm{N}(0,1). Пусть z_{\alpha} - \alpha-процентиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

\mathbb{P}\left(-z_{\frac{1+\alpha}{2}} \le Z \le z_{\frac{1+\alpha}{2}}\right) = \alpha.

После подстановки выражения для Z и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb{P}\left( \bar{X} - z_{\frac{1+\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\frac{1+\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \alpha.

Случай неизвестной дисперсииПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) - независимая выборка из нормального распределения, где \mu,\sigma^2 - неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего \mu.

Утверждение. Случайная величина

T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}},

где S - несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы \mathrm{t}(n-1). Пусть t_{\alpha,n-1} - \alpha-процентиль этого распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

\mathbb{P}\left(-t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1} \le T \le t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1}\right) =\alpha.

После подстановки выражения для T и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb{P}\left( \bar{X} - t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{\frac{1+\alpha}{2},n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\right) = \alpha.Шаблон:Statistics-stub

Викия-сеть

Случайная вики