Викия

Математика

Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Случай известного среднегоПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) - независимая выборка из нормального распределения, где \mu - известное среднее. Определим произвольное \alpha \in [0,1] и построим \alpha-доверительный интервал для неизвестной дисперсии \sigma^2.

Утверждение. Случайная величина

H = \frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}

имеет распределение \chi^2(n). Пусть \chi^2_{\alpha,n} - \alpha-процентиль этого распределения. Тогда имеем:

\mathbb{P}\left(\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n} \le H \le \chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n}\right) = \alpha.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb{P}\left(  \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n}} \le  \sigma^2 \le \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n}} \right) = \alpha.

Случай неизвестного среднегоПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) - независимая выборка из нормального распределения, где \mu,\sigma^2 - неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии \sigma^2.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

H = \frac{(n-1) S^2}{\sigma^2},

где S - несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение \chi^2(n-1). Тогда имеем:

\mathbb{P}\left(  \chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n-1}  \le H \le \chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n-1}\right) =\alpha.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb{P}\left(  \frac{(n-1) S^2}{\chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n-1}} \le  \sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n-1}} \right) = \alpha.Шаблон:Statistics-stub

Викия-сеть

Случайная вики