Викия

Математика

Дифференцируемая функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.


Свойства Править

  • Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того
     \bigl( f(x) = f(x_0) + A \cdot (x-x_0) + o(x-x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( f'(x_0) = A \bigr).
  • Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.
  • Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть
    \bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Rightarrow \bigl( f \in C(x_0) \bigr).
Обратное, вообще говоря, неверно.

Касательная прямая Править

Tangent to a curve.svg.png

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

См. также основную статью: Касательная прямая

Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция f_l:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, задаваемая уравнением f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0), называется касательной к функции f в точке x_0.

Примеры Править

  • Функция f(x) = x^2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление
    f(x) = f(x_0) + 2x_0(x-x_0) + (x-x_0)^2.
Таким образом имеем: f'(x_0) = 2x_0. Уравнение касательной для этой функции имеет вид: f_l(x) = x_0^2 + 2x_0(x-x_0). Дифференциал этой функции задается формулой: df(x_0)(h) = 2x_0 h.
  • Функция f(x) = |x| является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x_0 = 0, её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определен и её дифференциал.

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Дифференцируемая функция русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики