Викия

Математика

Дифференцирование сложной функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Одномерный случай Править

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, f:U(x_0) \to V(y_0), где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) \to \mathbb{R} Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0). Тогда их композиция также дифференцируема: h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), и её производная имеет вид:

 h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).

Замечание Править

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где x = x(t), принимает следующий вид:

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.

Инвариантность формы первого дифференциала Править

Дифференциал функции z = g(y) в точке y_0 имеет вид:

dz = g'(y_0) \, dy,

где dy — дифференциал тождественного отображения y \to y:

dy(h) = h,\quad h \in \mathbb{R}.

Пусть теперь y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0). Тогда dy = f'(x_0)\, dx, и согласно цепному правилу:

dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример Править

Пусть h(x) = (3x^2 - 5x)^7. Тогда функция h может быть записана в виде композиции h = g \circ f, где

f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7.

Дифференцируя эти фунем

h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).

Многомерный случай Править

Пусть даны функции f:U(x_0) \subset \mathbb{R}^m \to V(y_0) \subset \mathbb{R}^n, где y_0 = f(x_0), и g:V(y_0) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p. Пусть также эти функции дифференцируемы: f\in \mathcal{D}(x_0) и g \in \mathcal{D}(y_0). Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}

или

J_{g \circ f}(x_0) = J_g(y_0) \cdot J_f(x_0).

Следствия Править

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
    \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.
  • Для частных производных сложной функции справедливо
    \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.
    или в обозначениях Лейбница
    \frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots,m.
  • (Формула полной производной) Пусть f(t,y_1,\ldots,y_m):\mathbb{R}^{m+1} \to \mathbb{R}, где y_j = y_j(t,x_1,\ldots,x_n),\; j=1,\ldots m. Тогда
     \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial y_i} \frac{d y_i}{d t}.

Инвариантность формы первого дифференциалаПравить

Пусть z = g(y),\quad y\in V(y_0) \subset \mathbb{R}^n, и g \in \mathcal{D}(y_0). Тогда дифференциал функции g в точке y_0 имеет вид

dz = J_{g}(y_0)\,dy,

где dy(h) = h,\quad h \in \mathbb{R}^n — дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь y = f(x),\; x\in U(x_0)\subset \mathbb{R}^m,\; f\in \mathcal{D}(x_0), и y_0 = f(x_0). Тогда dy = J_f(x_0)\, dx, и z=g \circ f(x),\quad x \in U(x_0). Согласно цепному правилу

dz = J_{g \circ f}(x_0)\, dx = J_g(y_0) J_f(x_0)\, dx = J_{g}(y_0)\, dy.

Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Примеры Править

  • Пусть \bigl(x(t),y(t)\bigr) = ( \cos t, \sin t ), и f(x,y) = x^2 - y^2. Тогда
    \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} = 2 \cos t  (-\sin t) - 2 \sin t \cos t = -4 \sin t \cos t = -2 \sin 2t.
  • Пусть f(x,y) = xy, и x(u,v) = u^2 v,\; y(u,v) = v^3. Тогда
    \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = v^3 \cdot 2 uv + u^2 v \cdot 0 = 2uv^4;
    \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = v^3 u^2 + u^2 v\cdot 3v^2 = 4 u^2 v^3.


Эта статья содержит материал из статьи Дифференцирование сложной функции русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики