ФЭНДОМ


Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Одномерный случай Править

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $ f:U(x_0) \to V(y_0), $ где $ y_0 = f(x_0), $ и $ g:V(y_0) \to \mathbb{R} $ Пусть также эти функции дифференцируемы: $ f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0). $ Тогда их композиция также дифференцируема: $ h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0), $ и её производная имеет вид:

$ h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0). $

Замечание Править

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где $ x = x(t), $ принимает следующий вид:

$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}. $

Инвариантность формы первого дифференциала Править

Дифференциал функции $ z = g(y) $ в точке $ y_0 $ имеет вид:

$ dz = g'(y_0) \, dy, $

где $ dy $ — дифференциал тождественного отображения $ y \to y $:

$ dy(h) = h,\quad h \in \mathbb{R}. $

Пусть теперь $ y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0). $ Тогда $ dy = f'(x_0)\, dx $, и согласно цепному правилу:

$ dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy. $

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример Править

Пусть $ h(x) = (3x^2 - 5x)^7. $ Тогда функция $ h $ может быть записана в виде композиции $ h = g \circ f, $ где

$ f(x) = 3x^2-5x,\; g(y) = y^7. $

Дифференцируя эти фунем

$ h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5). $

Многомерный случай Править

Пусть даны функции $ f:U(x_0) \subset \mathbb{R}^m \to V(y_0) \subset \mathbb{R}^n, $ где $ y_0 = f(x_0), $ и $ g:V(y_0) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p. $ Пусть также эти функции дифференцируемы: $ f\in \mathcal{D}(x_0) $ и $ g \in \mathcal{D}(y_0). $ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

$ dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0). $

В частности, матрица Якоби функции $ h $ является произведением матриц Якоби функций $ g $ и $ f: $

$ \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} $

или

$ J_{g \circ f}(x_0) = J_g(y_0) \cdot J_f(x_0). $

Следствия Править

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
    $ \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert. $
  • Для частных производных сложной функции справедливо
    $ \frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m. $
    или в обозначениях Лейбница
    $ \frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial z}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots,m. $
  • (Формула полной производной) Пусть $ f(t,y_1,\ldots,y_m):\mathbb{R}^{m+1} \to \mathbb{R}, $ где $ y_j = y_j(t,x_1,\ldots,x_n),\; j=1,\ldots m. $ Тогда
    $ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial y_i} \frac{d y_i}{d t}. $

Инвариантность формы первого дифференциалаПравить

Пусть $ z = g(y),\quad y\in V(y_0) \subset \mathbb{R}^n, $ и $ g \in \mathcal{D}(y_0). $ Тогда дифференциал функции $ g $ в точке $ y_0 $ имеет вид

$ dz = J_{g}(y_0)\,dy, $

где $ dy(h) = h,\quad h \in \mathbb{R}^n $ — дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь $ y = f(x),\; x\in U(x_0)\subset \mathbb{R}^m,\; f\in \mathcal{D}(x_0), $ и $ y_0 = f(x_0). $ Тогда $ dy = J_f(x_0)\, dx, $ и $ z=g \circ f(x),\quad x \in U(x_0). $ Согласно цепному правилу

$ dz = J_{g \circ f}(x_0)\, dx = J_g(y_0) J_f(x_0)\, dx = J_{g}(y_0)\, dy. $

Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Примеры Править

  • Пусть $ \bigl(x(t),y(t)\bigr) = ( \cos t, \sin t ), $ и $ f(x,y) = x^2 - y^2. $ Тогда
    $ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} = 2 \cos t (-\sin t) - 2 \sin t \cos t = -4 \sin t \cos t = -2 \sin 2t. $
  • Пусть $ f(x,y) = xy, $ и $ x(u,v) = u^2 v,\; y(u,v) = v^3. $ Тогда
    $ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = v^3 \cdot 2 uv + u^2 v \cdot 0 = 2uv^4; $
    $ \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = v^3 u^2 + u^2 v\cdot 3v^2 = 4 u^2 v^3. $


Эта статья содержит материал из статьи Дифференцирование сложной функции русской Википедии.