Викия

Математика

Дифференциал (математика)

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается d_xf.

Неформальное описание Править

Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведем касательную к ней в точке x, и отложим на ней отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось x была равна \Delta x. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от \Delta x. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и \Delta x,

df:(x,\Delta x)\mapsto d_xf(\Delta x)

определяемой соотношением

d_xf(\Delta x)=f'(x)\cdot\Delta x,

в частности

f(x+\Delta x)=f(x)+d_xf(\Delta x)+o(\Delta x).

ОпределенияПравить

Для функцийПравить

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f определённой на M (M — область в \R^n или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается df и определяется соотношением

df(X)=Xf

где Xf обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.

Для отображенийПравить

Дифференциал гладкого отображения из гладком многообразия в многообразие F:M\to N есть отображение между их касательными расслоениями, dF:TM\to TN, такое что для любой гладкой функции g:N\to \R имеем

dF(X)g=X(F\circ g)

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X) в правой — в M функции F\circ g по X).

Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

Примеры Править

  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset \R задана гладкая функция f: U \rightarrow \R. Тогда df=f' dx, где f' обозначает производную f, а dx является постоянной формой определяемой dx(V)=V.
  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset \R^n задана гладкая функция f:\Omega\to \R. Тогда df=\sum_{i=1}^n\tfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i. Форма dx_i может быть опеделена соотношением dx_i(V)=v_i, для вектора V=(v_1,v_2,\dots,v_n).
  • Пусть в открытом множестве \Omega\subset \R^n задано гладкое отображение F:\Omega\to \R^m. Тогда
        d_xF(v)=J(x)v,
    где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.

ИсторияПравить

Термин Дифференциал (от лат. differentia-разность, различие) введен Лейбницем. Изначально, dxприменялось для обозначение «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался не удобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).

См. такжеПравить


bg:Диференциал (математика) cs:Diferenciál (matematika)eo:Diferencialo et:Diferentsiaal he:דיפרנציאל (מתמטיקה) nn:Differensial i matematikk no:Differensial (matematikk) pl:Różniczka simple:Differential sv:Differential ta:வகையீடு uk:Диференціал (математика)

Викия-сеть

Случайная вики