Викия

Математика

Дифференциальная форма

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дифференциальная форма порядка k — кососимметрическое тензорное поле типа (0,k) на касательном расслоении многообразия. В локальных координатах она записывается в виде \omega=\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}f_{i_1i_2\cdots i_k}(x^1,\dots,x^n)dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, где dx^iлинейный функционал, который сопоставляет вектору его i-ю координату. Соответственно дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k векторов. Одна из основных операций над дифференциальными формами - внешнее дифференцирование. Внешний дифференциал формы \omega порядка k — это форма d\omega=\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}\sum_{1\le j\le n}\frac{\partial f_{i_1i_2\cdots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k} порядка k+1.

1-формы Править

1-форма — дифференциальная форма порядка 1, которая представляет собой поле линейных функционалов, действующее на касательном расслоении многообразия. В локальных координатах x^i\, 1-форму можно представить как линейную комбинацию базисных 1-форм:

\omega=\sum_{i = 1}^N f_i(x)\, dx^i.

С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковектор, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p многообразия M и отображающий элементы касательного пространства \mathcal{T}_p (M) в множество действительных чисел R:

\omega(p)\,: \mathcal{T}_p (M)\rightarrow \mathbf{R}

Литература Править

  • Арнольд В.И. Математические методы классической механики
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971

См. также Править


sv:Differentialform

Викия-сеть

Случайная вики