Викия

Математика

Дифференциал

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дифференциа́л (от лат. — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обозначения Править

Обычно дифференциал функции f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать {\rm d}f шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x_0 обозначается d_{x_0}f, а иногда df_{x_0} или df[x_0], а также df, если значение x_0 ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x_0 от f(x) может обозначаться как d_{x_0}f(x), d f(x_0), а иногда df_{x_0}(x) или df[x_0](x), а также df(x), если значение x_0 ясно из контекста.

Использование знака дифференциалаПравить

  • Знак дифференциала используется в выражении для интеграла \int f(x)\, dx. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал dx вводится как часть определения интеграла.
  • Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной f'(x_0)=\frac{d_{x_0}}{dx}(f(x)). Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции f и тождественной функции x верно соотношение
    d_{x_0}f(x)=f'(x_0) dx.

ОпределенияПравить

Для функцийПравить

Дифференциал функции f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} в точке x_0 \in \mathbb{R} может быть определён как линейная функция

d_{x_0}f(x) = f'(x_0) \Delta x,

где f'(x_0) обозначает производную f в точке x_0.

Таким образом df есть функция двух аргументов df\colon (x_0,\Delta x)\mapsto d_{x_0}f(x).

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функции d_{x_0}f(x) линейно зависящей от \Delta x и для которой верно следующее соотношение

 f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = d_{x_0}f(x) + o(| \Delta x |).

Для отображенийПравить

Дифференциалом отображения f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m в точке x_0 \in \mathbb{R}^n называют линейный оператор d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m такой, что выполняется условие

 d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0)  + o(|h|).

Связанные определенияПравить

  • Отображение f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m называется дифференцируемым в точке x_0 \in \mathbb{R}^n если определён дифференциал d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m.

СвойстваПравить

  • Матрица линейного оператора d_{x_0}f равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные f.
    • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
  • Дифференциал функции f связан с её градиентом \nabla f следующим определяющим соотношением
    d_{x_0}f(h)=\langle\nabla f(x_0),h\rangle

История Править

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщенияПравить

Литература Править

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Викия-сеть

Случайная вики