Дифференциа́л (от лат. — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
Обозначения[]
Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Использование знака дифференциала[]
- Знак дифференциала используется в выражении для интеграла . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал вводится как часть определения интеграла.
- Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции и тождественной функции верно соотношение
Определения[]
Для функций[]
Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция
где обозначает производную в точке .
Таким образом есть функция двух аргументов .
Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функции линейно зависящей от и для которой верно следующее соотношение
Для отображений[]
Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие
Связанные определения[]
- Отображение называется дифференцируемым в точке если определён дифференциал .
Свойства[]
- Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
- Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
- Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением
История[]
Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.
Вариации и обобщения[]
- Дифференциалы высших порядков
- Внешний дифференциал
- Производная Пеано
- Производная Фреше
Литература[]
- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»