ФЭНДОМ


Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается $ \operatorname{D}X $ в русской литературе и $ \operatorname{var} X $ (Шаблон:Lang-en) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение $ \sigma_X^2 $ или $ \displaystyle \sigma^2 $. Квадратный корень из дисперсии $ \displaystyle \sigma $ называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

ОпределениеПравить

Пусть $ \displaystyle X $ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

$ \operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^2\right], $

где символ $ \mathbb{E} $ обозначает математическое ожидание.

ЗамечанияПравить

  • В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
$ \operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - \left(\mathbb{E}X\right)^2; $

Свойства дисперсииПравить

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $ \operatorname{D}X \geq 0; $
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: $ \operatorname{D}a = 0. $ Верно и обратное: если $ \operatorname{D}X = 0 $, то $ X = \mathbb{E}X $ п.н.
  • Пусть $ \displaystyle X_1,\ldots, X_n $ — случайные величины, а $ Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; a_i\in \mathbb{R} $ — их произвольная линейная комбинация. Тогда
$ \operatorname{D}Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + \sum\limits_{i\not = j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + 2 \sum\limits_{i < j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j), $

где $ \operatorname{cov}(X_i,X_j) $ковариация случайных величин $ \displaystyle X_i,\, X_j. $

В частности:

  • $ \operatorname{D}\left[ X_1 + \cdots + X_n\right] = \operatorname{D}X_1 + \cdots + \operatorname{D}X_n $,

если $ \displaystyle X_1,\ldots , X_n $ независимы;

  • $ \operatorname{D} \left[aX\right] = a^2 \operatorname{D} X; $
  • $ \operatorname{D}\left[-X\right] = \operatorname{D} X; $
  • $ \operatorname{D}[X+b] = \operatorname{D}[X]. $

ПримерПравить

Пусть случайная величина $ \displaystyle X $ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $ \displaystyle [0,1], $ т. е. её плотность вероятности задана равенством

$ f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right. $

Тогда

$ \mathbb{E}\left[X^2\right] = \int\limits_0^1 x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3}, $

и

$ \mathbb{E}\left[X\right] = \int\limits_0^1 x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}. $

Тогда

$ \operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - (\mathbb{E}X)^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}. $

См. такжеПравить

cs:Rozptyl (statistika) da:Variansel:Διακύμανσηeo:Variancogl:Varianza he:שונות id:Varianslt:Dispersija nl:Variantie no:Varians pl:Wariancjasimple:Variance sl:Varianca su:Varian sv:Variansuk:Дисперсія випадкової величини ur:تفاوت vi:Phương sai