Дисперсия случайной величины

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (Шаблон:Lang-en) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Свойства дисперсии 4 Пример 5 См. также

[править] Определение

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.

[править] Свойства дисперсии

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если , то п.н.
• Пусть — случайные величины, а — их произвольная линейная комбинация. Тогда

где — ковариация случайных величин

В частности:

• ,

если независимы;

• 
• 
• 

[править] Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на т. е. её плотность вероятности задана равенством

Тогда

и

Тогда

[править] См. также

• Моменты случайной величины;
• Ковариация;
• Выборочная дисперсия;
• Независимость (теория вероятностей).ar:تباين

cs:Rozptyl (statistika) da:Variansel:Διακύμανσηeo:Variancogl:Varianza he:שונות id:Variansja:分散lt:Dispersija nl:Variantie no:Varians pl:Wariancjasimple:Variance sl:Varianca su:Varian sv:Variansuk:Дисперсія випадкової величини ur:تفاوت vi:Phương sai zh:方差