Викия

Математика

Дисперсия случайной величины

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается \operatorname{D}X в русской литературе и \operatorname{var} X (Шаблон:Lang-en) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение \sigma_X^2 или \displaystyle \sigma^2. Квадратный корень из дисперсии \displaystyle \sigma называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

ОпределениеПравить

Пусть \displaystyle X — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^2\right],

где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание.

ЗамечанияПравить

  • В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - \left(\mathbb{E}X\right)^2;

Свойства дисперсииПравить

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: \operatorname{D}X \geq 0;
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: \operatorname{D}a = 0. Верно и обратное: если \operatorname{D}X = 0, то X = \mathbb{E}X п.н.
  • Пусть \displaystyle X_1,\ldots, X_n — случайные величины, а Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; a_i\in \mathbb{R} — их произвольная линейная комбинация. Тогда
\operatorname{D}Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + \sum\limits_{i\not = j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + 2 \sum\limits_{i < j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j),

где \operatorname{cov}(X_i,X_j)ковариация случайных величин \displaystyle X_i,\, X_j.

В частности:

  • \operatorname{D}\left[ X_1 + \cdots + X_n\right] = \operatorname{D}X_1 + \cdots +  \operatorname{D}X_n,

если \displaystyle X_1,\ldots , X_n независимы;

  • \operatorname{D} \left[aX\right] = a^2 \operatorname{D} X;
  • \operatorname{D}\left[-X\right] = \operatorname{D} X;
  • \operatorname{D}[X+b] = \operatorname{D}[X].

ПримерПравить

Пусть случайная величина \displaystyle X имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на \displaystyle [0,1], т. е. её плотность вероятности задана равенством


f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x\in [0,1] \\
0, & x \not\in [0,1].
\end{matrix}
\right.

Тогда

\mathbb{E}\left[X^2\right] = \int\limits_0^1 x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},

и

\mathbb{E}\left[X\right] = \int\limits_0^1 x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.

Тогда

\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - (\mathbb{E}X)^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.

См. такжеПравить

cs:Rozptyl (statistika) da:Variansel:Διακύμανσηeo:Variancogl:Varianza he:שונות id:Varianslt:Dispersija nl:Variantie no:Varians pl:Wariancjasimple:Variance sl:Varianca su:Varian sv:Variansuk:Дисперсія випадкової величини ur:تفاوت vi:Phương sai

Викия-сеть

Случайная вики