Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины , т. е. её отклонения от математического ожидания . Обозначается
D
X
{\displaystyle \operatorname{D}X}
в русской литературе и
var
X
{\displaystyle \operatorname{var} X}
(Шаблон:Lang-en ) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение
σ
X
2
{\displaystyle \sigma_X^2}
или
σ
2
{\displaystyle \displaystyle \sigma^2}
. Квадратный корень из дисперсии
σ
{\displaystyle \displaystyle \sigma}
называется среднеквадрати́чным отклоне́нием , станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
Определение [ ]
Пусть
X
{\displaystyle \displaystyle X}
— случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве . Тогда
D
X
=
E
[
(
X
−
E
X
)
2
]
,
{\displaystyle \operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^2\right],}
где символ
E
{\displaystyle \mathbb{E}}
обозначает математическое ожидание .
Замечания [ ]
В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
D
X
=
E
[
X
2
]
−
(
E
X
)
2
;
{\displaystyle \operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - \left(\mathbb{E}X\right)^2;}
Свойства дисперсии [ ]
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
D
X
≥
0
;
{\displaystyle \operatorname{D}X \geq 0;}
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю:
D
a
=
0.
{\displaystyle \operatorname{D}a = 0.}
Верно и обратное: если
D
X
=
0
{\displaystyle \operatorname{D}X = 0}
, то
X
=
E
X
{\displaystyle X = \mathbb{E}X}
п.н.
Пусть
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle \displaystyle X_1,\ldots, X_n}
— случайные величины, а
Y
=
∑
i
=
1
n
a
i
X
i
,
a
i
∈
R
{\displaystyle Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; a_i\in \mathbb{R}}
— их произвольная линейная комбинация . Тогда
D
Y
=
∑
i
=
1
n
a
i
2
D
X
i
+
∑
i
≠
j
a
i
a
j
cov
(
X
i
,
X
j
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
2
D
X
i
+
2
∑
i
<
j
a
i
a
j
cov
(
X
i
,
X
j
)
,
{\displaystyle \operatorname{D}Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + \sum\limits_{i\not = j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + 2 \sum\limits_{i < j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j),}
где
cov
(
X
i
,
X
j
)
{\displaystyle \operatorname{cov}(X_i,X_j) }
— ковариация случайных величин
X
i
,
X
j
.
{\displaystyle \displaystyle X_i,\, X_j.}
В частности:
D
[
X
1
+
⋯
+
X
n
]
=
D
X
1
+
⋯
+
D
X
n
{\displaystyle \operatorname{D}\left[ X_1 + \cdots + X_n\right] = \operatorname{D}X_1 + \cdots + \operatorname{D}X_n}
,
если
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle \displaystyle X_1,\ldots, X_n}
независимы ;
D
[
a
X
]
=
a
2
D
X
;
{\displaystyle \operatorname{D} \left[aX\right] = a^2 \operatorname{D} X;}
D
[
−
X
]
=
D
X
;
{\displaystyle \operatorname{D}\left[-X\right] = \operatorname{D} X;}
D
[
X
+
b
]
=
D
[
X
]
.
{\displaystyle \operatorname{D}[X+b] = \operatorname{D}[X].}
Пример [ ]
Пусть случайная величина
X
{\displaystyle \displaystyle X}
имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на
[
0
,
1
]
,
{\displaystyle \displaystyle [0,1],}
т. е. её плотность вероятности задана равенством
f
X
(
x
)
=
{
1
,
x
∈
[
0
,
1
]
0
,
x
∉
[
0
,
1
]
.
{\displaystyle
f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x\in [0,1] \\
0, & x \not\in [0,1].
\end{matrix}
\right.}
Тогда
E
[
X
2
]
=
∫
0
1
x
2
d
x
=
x
3
3
|
0
1
=
1
3
,
{\displaystyle \mathbb{E}\left[X^2\right] = \int\limits_0^1 x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},}
и
E
[
X
]
=
∫
0
1
x
d
x
=
x
2
2
|
0
1
=
1
2
.
{\displaystyle \mathbb{E}\left[X\right] = \int\limits_0^1 x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.}
Тогда
D
X
=
E
[
X
2
]
−
(
E
X
)
2
=
1
3
−
(
1
2
)
2
=
1
12
.
{\displaystyle \operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - (\mathbb{E}X)^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.}
См. также [ ]
ar:تباين
cs:Rozptyl (statistika)
da:Varians
el:Διακύμανση
eo:Varianco
gl:Varianza
he:שונות
id:Varians
lt:Dispersija
nl:Variantie
no:Varians
pl:Wariancja
simple:Variance
sl:Varianca
su:Varian
sv:Varians
uk:Дисперсія випадкової величини
ur:تفاوت
vi:Phương sai