Викия

Математика

Дискриминант

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дискриминант многочлена p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n, корни которого равны \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n, есть произведение

D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2.

Свойства Править

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые.
  • D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p'), где R(p,p') — результант многочлена p(x) и его производной p'(x).
    • В частности, дискриминант многочлена
p(x) = xn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
равен, с точностью до знака, определителю следующей (2n − 1)×(2n − 1)-матрицы:
 1     an−1     an−2      .         .        .    a0       0           .   .   .   0
 0     1        an−1     an−2       .        .    .       a0           0   .   .   0
 0     0        1        an−1     an−2       .    .       .            a0  0   .   0
 .     .        .        .         .        .    .
 .     .        .        .         .        .    .
 0     0        0        0         0        1    an−1    an−2          .   .   .  a0
 n  (n−1)an−1 (n-2)an−2   .         .       1a1   0        0           .   .   .   0
 0     n      (n−1)an−1 (n−2)an−2   .        .   1a1       0           0   .   .   0
 0     0        n       (n−1)an−1 (n−2)an−2  .    .       1a1          0   0   .   0
 .     .        .        .         .        .    .
 .     .        .        .         .        .    .
 0     0        0        0         0        n  (n−1)an−1(n−2)an−2      .   .  1a1  0
 0     0        0        0         0        0    n      (n−1)an−1(n−2)an−2 .   .  1a1

Примеры Править

  • Дискриминант квадратного трёхчлена ax^2+bx+c равен b^2-4ac;
  • Дискриминант многочлена a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 равен
4a_1^3a_3 - a_1^2a_2^2 + 4a_0a_2^3 - 18a_0a_1a_2a_3 + 27a_0^2a_3^2.
  • В частности, дискриминант многочлена x^3+px+q (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен -27q^2-4p^3.

История Править

Термин образован от лат. discriminar — «разбирать», «различать». Понятие дискриминант квадратичной формы, использовался в работах Гаусса, Дедекинда, Кронеккера, Вебера и др. Термин ввел Сильвестр.Шаблон:Источник?bg:Дискриминанта cs:Diskriminant da:Diskriminanthe:דיסקרימיננטהlt:Diskriminantas lv:Diskriminants nl:Discriminant th:ดิสคริมิแนนต์

Викия-сеть

Случайная вики