Функция вероятности
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискре́тное распределение.
Содержание |
[править] Определения
[править] Функция произвольной вероятности
Пусть 
является вероятностной мерой на 
, то есть определено вероятностное пространство 
, где 
обозначает борелевскую σ-алгебру на .
Определение 1. Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество 
такое, что 
.
Определение 2. Функция 
, определённая следующим образом:
называется функцией вероятности .
[править] Функция вероятности случайной величины
Определение 3. Пусть 
— случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует вероятностную меру 
на , называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности 
случайной величины 
имеет вид:
-
.
или короче
-
,
где 
.
[править] Свойства функции вероятности
Из свойств вероятности очевидно следует:
-
.
-
.
- Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:
-
.
- Если
, то
-
,
-
,
где 
— функция вероятности вектора 
, а 
— функция вероятности величины 
. Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности 
.
- Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:
-
,
при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.
[править] Примеры дискретных распределений
- Распределение Бернулли;
- Биномиальное распределение;
- Геометрическое распределение;
- Гипергеометрическое распределение;
- Логарифмическое распределение;
- Отрицательное биномиальное распределение;
- Распределение Пуассона;
- Дискретное равномерное распределение;
- Мультиномиальное распределение.
