Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле.
Определения[]
- Пусть есть некоторое множество, а — семейство всех его подмножеств. Тогда является топологией, называемой дискретной, а пара называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
- Пусть — метрическое пространство, где метрика определена следующим образом:
Тогда называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.
Замечание[]
Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное, вообще говоря, неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.
Примеры[]
- Пусть где , и — дискретная метрика на . Тогда — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
- Пусть и Очевидно, заданная метрика не дискретна. Однако, она порождает дискретную топологию.
Свойства[]
- Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда множество, содержащее лишь одну любую его точку, открыто.
- Множества, содержащие любую одну точку дискретного топологического пространства, являют собой базу дискретной топологии.
- Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
- Дискретное метрическое пространство ограничено.
- Любые два дискретных топологических пространства, имеющих общую мощность, гомеоморфны.
- Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
- Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.