Викия

Математика

Дискретное пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения Править

\varrho(x,y) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x \not=y \\
0, & x = y
\end{matrix}
\right., \quad x,y\in X.

Тогда \varrho называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание Править

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное, вообще говоря, неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры Править

  • Пусть X = \{ 1,\ldots, n\}, где n \in \mathbb{N}, и \varrho — дискретная метрика на X. Тогда (X,\varrho) — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
  • Пусть X = \{1/n\}_{n \in \mathbb{N}}, и \varrho(x,y) = |x-y|. Очевидно, заданная метрика не дискретна. Однако, она порождает дискретную топологию.

Свойства Править

  • Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда множество, содержащее лишь одну любую его точку, открыто.
  • Множества, содержащие любую одну точку дискретного топологического пространства, являют собой базу дискретной топологии.
  • Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
  • Дискретное метрическое пространство ограничено.
  • Любые два дискретных топологических пространства, имеющих общую мощность, гомеоморфны.
  • Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
  • Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики