Викия

Математика

Дизъюнктное объединение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Неформально говоря, дизъюнктное объединение — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая каждый элемент снабжает индексом множества, из которого этот элемент вошел в объединение.

Определение Править

Пусть \{A_i | i \in I\} — семейство множеств, перечисленных индексами из I. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

\coprod_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) | x \in A_i\}

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами (x, i). Таким образом i есть индекс, показывающий, из какого множества A_i элемент вошел в объединение. Каждое из множеств A_i канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

При \forall i, j \in I: i \neq j множества A_i^* и A_j^* не имеют общих элементов, даже если A_i \cap A_j \neq \varnothing. В вырожденном случае, когда множества A_i \forall i \in I равны какому-то конкретному A, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества A и множества I, то есть

\coprod_{i\in I}A_i = A \times I.

Использование Править

Иногда можно встретить обозначение A + B для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

\sum_{i\in I}A_i.

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если C - это семейство множеств, то

\bigcup_{A \in C} A

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых A и B из C выполняется следующее условие:

A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.

Литература Править

  • Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
  • Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. ISBN 5020144266

См. также Править


Эта статья содержит материал из статьи Дизъюнктное объединение русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики