Wikia

Математика

Дивергенция

Обсуждение0
1408статей на этой вики

Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.

Определение Править

Оператор дивергенции обозначается так: div F.

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\nabla\cdot \mathbf{F}

Физическая интерпретация Править

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:

 \operatorname{div}\,\mathbf{F} 
= \lim_{S \rightarrow 0} {\Phi_\mathbf{F} \over V}

где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат

 \operatorname{div}\,\mathbf{F} >0 точка поля является источником
 \operatorname{div}\,\mathbf{F} <0 точка поля является стоком
 \operatorname{div}\,\mathbf{F} =0 стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Свойства Править

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) 
+ b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

  • Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) 
= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),

или

\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).
  • Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) 
= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} 
\;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),

или

\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).
\operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \mathcal{4}\varphi
  • Дивергенция от ротора:
\operatorname{div}  (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах Править

\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \operatorname{div}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right],

где Hi — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, z) = \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(A_1r) + \frac{\partial}{\partial \theta}(A_2) + \frac{\partial}{\partial z}(A_3r) \right]

Сферические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = r\sin{\theta} \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, \phi) = \frac{1}{r^2\sin{\theta}}\left[\frac{\partial}{\partial r}(A_1r^2\sin{\theta}) + \frac{\partial}{\partial \theta}(A_2r\sin{\theta}) + \frac{\partial}{\partial \phi}(A_3r) \right]

См. также Править


bg:Дивергенция (математика) ca:Divergència cs:Divergencehe:דיברגנץ hu:Divergencia (vektoranalízis)nl:Divergentie (vectorveld) pl:Dywergencjask:Divergencia (vektorové pole) ta:விரிதல் (திசையன் நுண்கணிதம்)uk:Дивергенція vi:Toán tử div zh:散度

Викия-сеть

Случайная вики