Викия

Математика

Дивергенция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.

Определение Править

Оператор дивергенции обозначается так: div F.

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\nabla\cdot \mathbf{F}

Физическая интерпретация Править

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:

 \operatorname{div}\,\mathbf{F} 
= \lim_{S \rightarrow 0} {\Phi_\mathbf{F} \over V}

где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат

 \operatorname{div}\,\mathbf{F} >0 точка поля является источником
 \operatorname{div}\,\mathbf{F} <0 точка поля является стоком
 \operatorname{div}\,\mathbf{F} =0 стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Свойства Править

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) 
+ b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

  • Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) 
= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),

или

\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).
  • Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) 
= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} 
\;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),

или

\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).
\operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \mathcal{4}\varphi
  • Дивергенция от ротора:
\operatorname{div}  (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах Править

\operatorname{div}(\mathbf{A}) = \operatorname{div}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right],

где Hi — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, z) = \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(A_1r) + \frac{\partial}{\partial \theta}(A_2) + \frac{\partial}{\partial z}(A_3r) \right]

Сферические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = r\sin{\theta} \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{div}\mathbf{A}(r, \theta, \phi) = \frac{1}{r^2\sin{\theta}}\left[\frac{\partial}{\partial r}(A_1r^2\sin{\theta}) + \frac{\partial}{\partial \theta}(A_2r\sin{\theta}) + \frac{\partial}{\partial \phi}(A_3r) \right]

См. также Править


bg:Дивергенция (математика) ca:Divergència cs:Divergencehe:דיברגנץ hu:Divergencia (vektoranalízis)nl:Divergentie (vectorveld) pl:Dywergencjask:Divergencia (vektorové pole) ta:விரிதல் (திசையன் நுண்கணிதம்)uk:Дивергенція vi:Toán tử div

Викия-сеть

Случайная вики