Математика
Регистрация
Advertisement

Дзета-функция Римана определена с помощью ряда Дирихле:

.

В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

,

где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства[]

  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
, где число Бернулли.

В частности, , .

Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно рациональное.
  • При
где функция Мёбиуса
где — число делителей числа
где — число простых делителей числа
  • допускает аналитическое продолжение на всю комплексную -плоскость и является регулярной функцией для всех значений , кроме , где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1.
    • Аналитически продолженная дзета-функция при удовлетворяет уравнению:
,
где Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
  • Для функции
введенной Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид

Нули дзета-функции[]

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнениения Римана, в полуплоскости , функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее при вещественных . Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой .

История[]

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки[]

  • Шаблон:MathWorld

ar:دالة زيتا bg:Дзета-функция на Риман ca:Funció zeta de Riemann cs:Riemannova funkce zeta da:Riemanns zetafunktion el:Ζήτα συνάρτηση he:פונקציית זטא של רימן hu:Riemann-féle zéta-függvény nl:Riemann-zeta-functie pl:Funkcja ζ sl:Riemannova funkcija zeta sr:Риманова зета-функција sv:Riemanns zeta-funktion th:ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ uk:Дзета-функція Рімана

Advertisement