Викия

Математика

Дзета-функция Римана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дзета-функция Римана \zeta(s) определена с помощью ряда Дирихле:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.

В области  \left\{ s : \operatorname{Re}(s) > 1\right\}, этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

СвойстваПравить

  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}, где B_{2m}число Бернулли.

В частности, \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.

Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа \zeta(3) (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно рациональное.
  • При \operatorname{Re}(s)> 1
  • \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}
где \mu(n)функция Мёбиуса
  • \zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}
где \tau(n) — число делителей числа n
  • {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}
где \nu(n) — число простых делителей числа n
  • \zeta(s) допускает аналитическое продолжение на всю комплексную s-плоскость и является регулярной функцией для всех значений s, кроме s=1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1.
    • Аналитически продолженная дзета-функция при s\ne 0, s\ne 1 удовлетворяет уравнению:
\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s),
где \Gamma(z)Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
  • Для функции
\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)
введенной Риманом для исследования \zeta(s) и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид
\xi(s)=\xi(1-s)

Нули дзета-функции Править

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнениения Римана, в полуплоскости \operatorname{Re}(s)< 0, функция \zeta(s) имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее \zeta(s)\not=0 при вещественных s\in (0,1). Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали \operatorname{Re}(s)=1/2 и лежат в полосе 0\le\operatorname{Re}(s)\le 1, которая называется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой 1/2 + i t.

ИсторияПравить

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки Править

ar:دالة زيتا

bg:Дзета-функция на Риман ca:Funció zeta de Riemann cs:Riemannova funkce zeta da:Riemanns zetafunktionel:Ζήτα συνάρτησηhe:פונקציית זטא של רימן hu:Riemann-féle zéta-függvénynl:Riemann-zeta-functie pl:Funkcja ζsl:Riemannova funkcija zeta sr:Риманова зета-функција sv:Riemanns zeta-funktion th:ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ uk:Дзета-функція Рімана

Викия-сеть

Случайная вики