Дзета-функция Римана определена с помощью ряда Дирихле:
- .
В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
- ,
где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Свойства[]
- Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
- , где — число Бернулли.
В частности, , .
- Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно рациональное.
- При
- где — функция Мёбиуса
- где — число делителей числа
- где — число простых делителей числа
- допускает аналитическое продолжение на всю комплексную -плоскость и является регулярной функцией для всех значений , кроме , где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1.
- Аналитически продолженная дзета-функция при удовлетворяет уравнению:
- ,
- где — Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
- Для функции
- введенной Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид
Нули дзета-функции[]
- Основная статья: Гипотеза Римана
Как следует из функционального уравнениения Римана, в полуплоскости , функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее при вещественных . Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой .
История[]
Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.
Ссылки[]
- Шаблон:MathWorld
ar:دالة زيتا bg:Дзета-функция на Риман ca:Funció zeta de Riemann cs:Riemannova funkce zeta da:Riemanns zetafunktion el:Ζήτα συνάρτηση he:פונקציית זטא של רימן hu:Riemann-féle zéta-függvény nl:Riemann-zeta-functie pl:Funkcja ζ sl:Riemannova funkcija zeta sr:Риманова зета-функција sv:Riemanns zeta-funktion th:ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ uk:Дзета-функція Рімана