Дельта-функция

$\delta$-функция — есть сингулярная обобщённая функция. Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке $a$, евклидова пространства $\R^n$, записывается с помощью $\delta$-функции в виде $\delta (x-a)$.

$\delta$-функция не является функцией в классическом смысле. Она определяется как обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

Определение

$\delta$-функция определяется формальным соотношением

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (x-a)f(x)\;dx=f(a)$

для любой непрерывной функции $f(x)\,$.

Свойства

Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:

• $\delta (x)=0,\qquad \forall x\not =0$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1$

Интегральное представление

Во многих физических приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

Рассмотрим интеграл

$I(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega$,    (1)

который можно интерпретировать как предел

$I(t)=\lim _{N=\infty }\int _{-N}^{N}e^{i\omega t}\,d\omega =2\pi N{\frac {\sin {tN}}{\pi tN}}$.    (2)

Файл:Sin x div x function graph.png

График функции $sin(x)/x$

Известно, что

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin {t}}{t}}\,dt=\pi$.    (3)

В силу (3) для любого $N\,$ справедливо равенство:

$\int _{-\infty }^{\infty }2N{\frac {\sin {tN}}{tN}}\,dt=2\pi$.    (4)

Можно показать, что при неограниченном росте $N\,$ оказываются верными все свойства дельта-функции и функция (2) в некотором смысле стремится к $\delta(t)\,$; это позволяет заключить, что:

$I(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\,d\omega =2\pi \delta (t)$.

Производная дельта-функции

Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции $\delta(x)$:

$\int f(x)\delta ^{[n]}(x)\,dx=-\int {\frac {\partial f}{\partial x}}\delta ^{[n-1]}(x)\;dx$.

Сделав подстановку $f(x)=xg(x)\,\!$, получим выражение вида:

$\int xg(x)\delta ^{\prime }(x)\;dx=-\int \delta (x){\frac {\partial }{\partial x}}[xg(x)]\;dx$.

Преобразовав выражение, получим следующее:

$-\int \delta (x)[g(x)+xg^{\prime }(x)]\;dx=-\int g(x)\delta (x)\;dx$.

В силу того, что $\int xg^{\prime }(x)\delta (x)\;dx=0$, приходим к окончательному выражению

$x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x)\,\!$.

В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:

$\int [x^{n}f(x)]\delta ^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int {\frac {\partial ^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}}\delta (x)\;dx$.

Для производной дельта-функции так же верны следующие тождества:

$\delta ^{\prime }(-x)=-\delta ^{\prime }(x)\,\!$;

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta ^{\prime }(x-a)\;dx=-f^{\prime }(a)$;

$\int _{-1}^{1}\delta \left({\frac {1}{x}}\right)\;dx=0$.

Преобразование Фурье

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

$\int _{-\infty }^{+\infty }1\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\delta (f)$

в результате получается спектр вида

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$.

Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. То есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции:

$H(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (t)\,dt$.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции ${\sqrt {2\pi }}H(t)$, получим её изображение вида:

${\frac {1}{i\omega }}+{\pi }\delta (t)$.

Представление в различных координатах и системах отсчета

В двумерном пространстве:

$\iint _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1$;

$\delta (ax,\;by)={\frac {1}{\left|ab\right|}}\delta ^{2}(x,\;y)$;

$\delta ^{2}(x,\;y)=\delta (x)\delta (y)\,\!$.

В полярных координатах:

$\delta ^{2}(x,\;y)={\frac {\delta (r)}{\pi \left|r\right|}}$.

В трехмерном пространстве:

$\iiint _{-\infty }^{+\infty }\delta ^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1$;

$\delta ^{3}(x,\;y,\;z)=\delta (x)\delta (y)\delta (z)\,\!$.

В цилиндрической системе:

$\delta ^{3}(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\delta (r)\delta (z)}{\pi r}}$.

В сферической системе отсчета:

$\delta ^{3}(r,\;\theta ,\;\phi )={\frac {\delta (r)}{2\pi r^{2}}}\,\!$.

Физическая интерпретация

Вблизи заряжённой точки, поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Данный пример с полем заряженной частицы довольно трудно наглядно представить. Рассмотрим боле простой пример. При ударе двух тел оба тела получают ускорение и приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Данный график является графиком функции Хевисайда, а как было показывано ранее, производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией.

График единичной функции Дирака:

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. Далее приняв то, что данная модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:

$a(t)=\nu \delta (t-t_{a})$.

Рассмотрим другие примеры. Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе $h \rightarrow 0$ волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона. Через дельта-функцию, так же записывается функция Грина линейного оператора $L$, действующего на обобщённые функции над многообразием $M$ в точке $x_0$. Уравнение имеет вид $(Lf)(x)=\delta (x-x_{0})$. В приведенной выше формуле, оператор $L$ — оператор Лапласа.

Важно отметить следующую формулу

$\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta$,

где $r$ — функция Грина, кривизна.

Данное выражение исходит из того, что $\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)$ ведет себя подобно дельта-функции. Данное утверждение используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:

$\Phi (x)=\int {\varrho (x^{\prime }) \over \left|x-x^{\prime }\right|}\,d^{3}x^{\prime }$

удовлетворяет уравнению Пуассона:

$\nabla ^{2}\Phi =4\pi \varrho$.

Таким образом, дельта-функция является мощным математическим аппаратом для описания сложных физических процессов.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld

ca:Delta de Dirac cs:Diracova delta funkce da:Diracs deltafunktion fa:تابع دلتای دیراک he:פונקציית דלתא של דיראק lv:Delta funkcija nl:Diracdelta pl:Delta Diraca sl:Porazdelitev delta sv:Diracs delta-funktion