-функция — есть сингулярная обобщённая функция. Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины
(масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и
т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
Например, плотность точечной массы 1,
находящейся в точке , евклидова пространства, записывается с помощью
-функции в виде .
-функция не является
функцией в классическом смысле.
Она определяется как обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.
Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:
Интегральное представление[]
Во многих физических приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:
Рассмотрим интеграл
, (1)
который можно интерпретировать как предел
. (2)
Известно, что
. (3)
В силу (3) для любого справедливо равенство:
. (4)
Можно показать, что при неограниченном росте оказываются верными все свойства дельта-функции и функция (2) в некотором смысле стремится к ; это позволяет заключить, что:
В силу того, что , приходим к окончательному выражению
.
В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:
.
Для производной дельта-функции так же верны следующие тождества:
;
;
.
Преобразование Фурье[]
К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:
в результате получается спектр вида
.
Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. То есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции:
.
Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции , получим её изображение вида:
.
Представление в различных координатах и системах отсчета[]
В двумерном пространстве:
;
;
.
В полярных координатах:
.
В трехмерном пространстве:
;
.
В цилиндрической системе:
.
В сферической системе отсчета:
.
Физическая интерпретация[]
Вблизи заряжённой точки, поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Данный пример с полем заряженной частицы довольно трудно наглядно представить. Рассмотрим боле простой пример. При ударе двух тел оба тела получают ускорение и приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:
Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. Далее приняв то, что данная модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:
.
Рассмотрим другие примеры. Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона. Через дельта-функцию, так же записывается функция Грина линейного оператора , действующего на обобщённые функции над многообразием в точке . Уравнение имеет вид . В приведенной выше формуле, оператор — оператор Лапласа.
Данное выражение исходит из того, что ведет себя подобно дельта-функции. Данное утверждение используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:
удовлетворяет уравнению Пуассона:
.
Таким образом, дельта-функция является мощным математическим аппаратом для описания сложных физических процессов.