Викия

Математика

Дельта-функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

\delta-функция — есть сингулярная обобщённая функция. Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке a, евклидова пространства \mathbb R^n, записывается с помощью \delta-функции в виде \delta(x-a).

\delta-функция не является функцией в классическом смысле. Она определяется как обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

ОпределениеПравить

\delta-функция определяется формальным соотношением

\int_{\mathbb R^n}\delta(x-a)f(x)\;dx = f(a)

для любой непрерывной функции f(x)\,.

СвойстваПравить

Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:

  • \delta(x) = 0,\qquad\forall x \not= 0
  • \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1

Интегральное представлениеПравить

Во многих физических приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

Рассмотрим интеграл

I(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\, d\omega,    (1)

который можно интерпретировать как предел

I(t) = \lim_{N = \infty} \int_{-N}^N e^{i\omega t}\, d\omega = 2 \pi N \frac{\sin{tN}}{\pi tN}.    (2)
Файл:Sin x div x function graph.png

Известно, что

\int_{-\infty}^ \infty \frac{\sin{t}}{t}\,dt = \pi.    (3)

В силу (3) для любого N\, справедливо равенство:

\int_{-\infty}^{\infty} 2N \frac{\sin{tN}}{tN}\, dt = 2 \pi .    (4)

Можно показать, что при неограниченном росте N\, оказываются верными все свойства дельта-функции и функция (2) в некотором смысле стремится к \delta(t)\,; это позволяет заключить, что:

I(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\, d\omega = 2\pi \delta(t).

Производная дельта-функции Править

Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции \delta(x):

\int f(x)\delta^{[n]}(x)\,dx=-\int\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x)\;dx.

Сделав подстановку f(x)=xg(x)\,\!, получим выражение вида:

\int xg(x)\delta^\prime (x)\;dx=-\int\delta(x)\frac{\partial}{\partial x}[xg(x)]\;dx.

Преобразовав выражение, получим следующее:

-\int\delta(x)[g(x)+xg^\prime(x)]\;dx=-\int g(x)\delta(x)\;dx.

В силу того, что \int xg^\prime(x)\delta(x)\;dx=0, приходим к окончательному выражению

x\delta^\prime(x)=-\delta(x)\,\!.

В общем виде выражение производной дельта-функции записывается так:

\int [x^{n}f(x)]\delta^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int\frac{\partial^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}\delta(x)\;dx.

Для производной дельта-функции так же верны следующие тождества:

\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x)\,\!;
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\;dx=-f^\prime(a);
\int_{-1}^{1}\delta\left(\frac{1}{x}\right)\;dx=0.

Преобразование Фурье Править

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

\int_{-\infty}^{+\infty}1\cdot e^{-i 2\pi f t}\,dt = \delta(f)

в результате получается спектр вида

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,.

Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. То есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции:

H(x)=\int_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции \sqrt{2\pi}H(t), получим её изображение вида:

\frac{1}{i\omega}+{\pi}\delta(t).

Представление в различных координатах и системах отсчета Править

В двумерном пространстве:

\iint_{-\infty}^{+\infty}\delta^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1;
\delta(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^{2}(x,\;y);
\delta^{2}(x,\;y)=\delta(x)\delta(y)\,\!.

В полярных координатах:

\delta^{2}(x,\;y)=\frac{\delta(r)}{\pi\left|r\right|}.

В трехмерном пространстве:

\iiint_{-\infty}^{+\infty}\delta^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;
\delta^{3}(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\,\!.

В цилиндрической системе:

\delta^{3}(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r}.

В сферической системе отсчета:

\delta^{3}(r,\;\theta,\;\phi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}\,\!.

Физическая интерпретация Править

Вблизи заряжённой точки, поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Данный пример с полем заряженной частицы довольно трудно наглядно представить. Рассмотрим боле простой пример. При ударе двух тел оба тела получают ускорение и приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Файл:Hevisaidstep.JPG

Данный график является графиком функции Хевисайда, а как было показывано ранее, производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией.

График единичной функции Дирака:

Файл:Dirac-edenichnaja.jpg

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. Далее приняв то, что данная модель рассматривается в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение:

a(t)=\nu\delta(t-t_a).

Рассмотрим другие примеры. Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе h \rightarrow 0 волновые функции локализуются в дельта-функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона. Через дельта-функцию, так же записывается функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M в точке x_0. Уравнение имеет вид (Lf)(x)= \delta (x-x_0). В приведенной выше формуле, оператор Lоператор Лапласа.


Важно отметить следующую формулу

\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta,

где rфункция Грина, кривизна.

Данное выражение исходит из того, что \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) ведет себя подобно дельта-функции. Данное утверждение используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:

\Phi(x)=\int{\varrho(x^\prime)\over\left|x-x^\prime\right|} \,d^3x^\prime

удовлетворяет уравнению Пуассона:

\nabla^2\Phi=4\pi\varrho.

Таким образом, дельта-функция является мощным математическим аппаратом для описания сложных физических процессов.

СсылкиПравить

ca:Delta de Dirac

cs:Diracova delta funkce da:Diracs deltafunktionfa:تابع دلتای دیراکhe:פונקציית דלתא של דיראקlv:Delta funkcija nl:Diracdelta pl:Delta Diracasl:Porazdelitev delta sv:Diracs delta-funktion

Викия-сеть

Случайная вики