Математика
Регистрация
Advertisement

Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические...), существующие на перемножаемых множествах.

Прямое произведение в теории множеств[]

Произведение двух множеств[]

               
в в в в в в в в
и и и и и и и и
к к к к к к к к
Произведение множества {в,и,к}
на множество цветов радуги

Пусть даны два множества и . Прямое произведение множества и множества есть такое множество , элементами которого являются упорядоченные пары для всевозможных и .

Отображения произведения множеств в его множители ( и ) называют координатными функциями.

Аналогично строятся произведения нескольких множеств.

Декартова степень[]

000 001 002 010 011 012 020 021 022
100 101 102 110 111 112 120 121 122
200 201 202 210 211 212 220 221 222
{0,1,2}3, 33 = 27 элементов

-ая Декартова степень множества определяется для целых неотрицательных , как -кратное Декартово произведение на себя:

.

При положительных Декартова степень состоит из всех упорядоченных наборов (кортежей) элементов из длины .

При , Декартова степень по определению содержит единственный элемент - пустой кортеж.

Дальнейшие обобщения[]

Дальнейшее обобщение понятия прямого произведения приводит к произведениям по индексному множеству I (возможно, бесконечному): X = Π Xi, элементы которого сопоставляют каждому индексу i из I элемент множества Xi.

Воздействие на математические структуры[]

Прямое произведение групп[]

Прямое (декартово) произведение двух групп и — это группа из всех пар элементов с операцией поэлементного умножения: . Эта группа обозначается как . Сомножители и изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, и соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.

Однако, для бесконечного числа перемножаемых групп понятия декартового и прямого произведения принято различать. В общем случае, , где и . (Операция в правой части — это операция группы .) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: . Например, для счётного числа групп: , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех , носитель которых (т.е. множество ) конечен, называется прямым произведением. Например, прямое произведение того же самого набора множеств содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Прямое произведение других алгебраических структур[]

Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.

Прямое произведение топологических пространств[]

Пусть и — два топологических пространства. Топология произведения задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений , где U — открытое подмножество и V — открытое подмножество .

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения X = Π Xi определение усложняется. Определим открытый член совета , где и U — открытое подмножество Xi. Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова (а иные пространства и не рассматриваются).

Прямое произведение графов[]

  —
—
—

Множество вершин прямого произведения двух графов G и H задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

  • , где и — соединённые ребром вершины графа G, а — произвольная вершина графа H;
  • , где — произвольная вершина графа G, а и — соединённые ребром вершины графа H.

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Прямое произведение отображений[]

Пусть f — отображение из A в B, а g — отображение из X в Y. Их прямым произведением f×g называется отображение из A×X в B×Y:

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

См. также[]


be-x-old:Дэкартавы здабытак bg:Декартово произведение cs:Kartézský součin eo:Cilindro (algebro) gd:Toradh Cartesach gl:Produto cartesiano he:מכפלה קרטזית hu:Descartes-szorzat is:Faldmengi lmo:Cungjuunt prudüit lt:Dekarto sandauga nl:Cartesisch product nn:Kartesisk produkt no:Kartesisk produkt oc:Produch cartesian pl:Iloczyn kartezjański pms:Prodot cartesian sk:Karteziánsky súčin uk:Декартів добуток множин

Advertisement