Викия

Математика

Действие группы

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм \Phi:G\to S(M) из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M. Для краткости (\Phi(g))(m) часто записывают как g m .

Другими словами, группа G действует на множестве M, если задано отображение G\times M\to M (обозначаемое (g,m)\mapsto gm), такoe что

  1. (gh)m = g(hm) для всех g,h\in G, m\in M и
  2. em = m, где e есть единица G.

Типы действийПравить

  • Свободное, если для любых различных g, h\in G и любого m\in M выполняется gm \ne hm.
  • Транзитивное если для любых m,n\in M существует g\in G такой, что gm = n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm = M для любого элемента m\in M.
  • Эффективное, если для любых g, h\in G существует m\in M такой, что gm \not= hm.

Орбиты Править

Подмножество

G m = \{ gm\mid g\in G \}\subset M

называется орбитой элемента m\in M.

Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности

\forall n, m\in M\qquad \left(n\sim_G m\right)\quad \Longleftrightarrow\quad
\left(\exists g\in G\ \ gn=m\right)\quad\Longleftrightarrow\quad
\left(Gn=Gm\right).

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то

M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k,

где m_1, m_2, \dots, m_k\in M попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k=1.

СтабилизаторыПравить

Подмножество

G_m = \{ g\in G\mid gm=m \}\subset G

является подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента m\in M.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если n\sim_G m, то найдется такой элемент g\in G, что

G_m=g\, G_n\, g^{-1}.

Количество элементов в орбите Править

|G m|=[G:G_m], где [G:G_m]индекс подгруппы G_m\subset G, в случае конечных групп равен \frac{|G|}{|G_m|}.

Если M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k, то

|M| = \sum_{t=1}^k [G:G_{m_t}]формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества

\forall m\in M\quad \sum_{n\in Gm} |G_n| = |G|
\sum_{m\in M} |G_m| = k |G|

и лемму Бернсайда.


Примеры действий Править

Действия на себеПравить

СлеваПравить

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M = G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (\Phi(g))(h)=g h.

СправаПравить

Аналогично определяется действие на себе справа, (\Phi(g))(h)=h g^{-1}.

Сопряжениями Править

Пусть M = G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (\Phi(g))(h)=g h g^{-1}. При этом для каждого элемента h\in G стабилизатор G_h совпадает с централизатором C(h):

G_h = \{ g\in G\mid ghg^{-1}=h\} = \{ g\in G\mid gh=hg\} = C(h).

Например, для элемента h из центра группы G (т.е. h\in Z(G)) C(m)=G),  G_h=G.

Слева и справаПравить

Все эти два действия являются действиями подгрупп действия  G\times G на M = G с гомоморфизмом \Phi:G\times G\to S(G) заданым как (\Phi(g_1,g_2))(h)=g_1 h g_2^{-1}.eo:Grupa agohe:פעולת חבורהpl:Działanie grupy na zbiorzeuk:Дія групиzh-yue:作用 (代數)

Викия-сеть

Случайная вики