Викия

Математика

Дедекиндово сечение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Дедекиндово сечение - это разбиение полностью упорядоченного множества. Дедекиндовы сечения являются одним из способов построения вещественной прямой на основе рациональных чисел.

Определение Править

Пусть дано полностью упорядоченное множество (X,\le). Разбиение \{A,B\} множества X называется Дедекиндовым сечением, если

  • A замкнуто снизу, то есть
    \forall a\in A\; \forall x\in X\quad \bigl(x \le a\bigr) \Rightarrow \bigl( x \in A\bigr);
  • B замкнуто сверху, то есть
    \forall b \in B\; \forall x \in X \quad \bigl( b \le x  \bigr) \Rightarrow \bigl( x \in B \bigr);
  • A не содержит наибольшего элемента, то есть
    \forall a\in A\; \exists a'\in A\quad a < a'.

Порядок Править

На семействе Дедекиндовых сечений может быть введено отношение порядка следующим образом. Положим по определению

\bigl(\{A_1,B_1\} \le \{A_2,B_2\} \bigr) \Leftrightarrow \bigl( A_1 \subset A_2 \bigr).

Эквивалентно

\bigl(\{A_1,B_1\} \le \{A_2,B_2\} \bigr) \Leftrightarrow \bigl( B_2 \subset B_1 \bigr).

Упорядоченное таким образом семейство Дедекиндовых сечений является полностью упорядоченным множеством, удовлетворяющим принципу полноты Вейерштрасса.

Построение вещественных чисел Править

См. также основную статью: Вещественное число

Рассмотрим множество рациональных чисел \mathbb{Q} со стандартным порядком. Тогда оно изоморфно подмножеству семейства Дедекиндовых сечений на \mathbb{Q}.

q \in \mathbb{Q} \leftrightarrow \bigl\{ \{q' \in \mathbb{Q} \mid q' < q \}, \{ q'' \in \mathbb{Q} \mid q'' \ge q \} \bigr\}.

Существуют Дедекиндовы сечения, которые не соответствуют ни одному рациональному числу в смысле определённого выше изоморфизма. Например,

\bigl\{ \{q < 0 \} \cup \{q^2 < 2\}, \{q \ge 0 \} \cap \{ q^2 \ge 2 \} \bigr\}.

Таким образом семейство Дедекиндовых сечений на \mathbb{Q} можно рассматривать как объемлющее множество, которое содержит \mathbb{Q} в качестве собственного подмножества. Это объемлющее множество называется множеством вещественных чисел.

Викия-сеть

Случайная вики