Группа

Гру́ппа — в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Всем знакомые вещественные числа наделены сложением — операцией, обладающей некоторым набором свойств. Похожими свойствами обладают и многие другие из объектов, которые изучает математика, — например, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Теория групп занимается изучением взаимосвязей между этими свойствами в общем виде. Структура группы включается в различные другие алгебраические структуры, такие как поля, векторные пространства или группы Ли. Кроме того, группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях.

Определения

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией · : $G\times G\to G$ называется группой (G, ·), если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: для любых a, b и c из G верно (a · b) · c = a · (b · c);
2. наличие нейтрального элемента: в G существует элемент e такой, что для всех a из G справедливо e · a = a · e = a;
3. наличие обратного элемента: для любого a из G найдётся элемент a^-1 из G, называемый обратным, такой, что a · a^-1 = a^-1 · a = e.

Комментарии

• Заметим, что от группы не требуется свойства a · b = b · a (так называемой коммутативности).
  • Пары элементов, для которых это равенство выполнено, называются перестановочными или коммутирующими.
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
  • Группа, для которой это равенство выполнено для произвольных элементов a, b из G, называется коммутативной, или абелевой.
• В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:

Для любых a и b из G существуют единственные x и y из G такие, что: a · x = b и y · a = b.

• Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (e_l · a = a) и левого обратного (a' · a = e_l) элементов. При этом они автоматически являются e и a^-1:

$e_{l}=a'\cdot a\Leftrightarrow e_{l}\cdot e_{l}=a'\cdot a\Leftrightarrow a'\cdot a\cdot e_{l}=a'\cdot a\Leftrightarrow a''\cdot a'\cdot a\cdot e_{l}=a''\cdot a'\cdot a\Leftrightarrow e_{l}\cdot a\cdot e_{l}=e_{l}\cdot a\Leftrightarrow a\cdot e_{l}=a$;

$a\cdot a'=e\cdot (a\cdot a')=(a''\cdot a')\cdot (a\cdot a')=a''\cdot (e\cdot a')=a''\cdot a'=e$.

Связанные определения

см. основую статью Словарь терминов теории групп.

• Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
• Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).
  • Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Примеры

• Целые числа с операцией сложения. $(\mathbb Z, +)$ группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.

• Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.

• Свободная группа с двумя образующими ($F_2$) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем $\epsilon$ (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a⁻¹, b и b⁻¹ таких, что a не появляется рядом с a⁻¹ и b не появляется рядом с b⁻¹. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa⁻¹, a⁻¹a, bb⁻¹ и b⁻¹b.

• Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной некоммутативной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли).

• Циклические группы состоят из степеней a⁰ = e, a, a², … одного элемента a. Такие группы всегда коммутативны. Примеры таких групп — упомянутые уже целые числа по сложению и группа корней из единицы.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применятеся мультипликативная запись:

• результат операции называют произведением и записывают «a·b» или «ab»;
• нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
• обратный к a элемент записывается как «a⁻¹».

Кратные произведения aa, aaa, … записывают в виде целых степеней a², a³, …, причём (a^-1)ⁿ = a^-n, a⁰ = e.

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющяя операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

• пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
• обозначают нейтральный элемент «0» и называем его нулём;
• обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
• запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
• выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, -2a, …

Простейшие свойства

• Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
• (a^-1)^-1 = a, a^maⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.
• (ab)^-1 = b^-1a^-1.
• Верны законы сокращения:

c · a = c · b ⇔ a = b,

a · c = b · c ⇔ a = b.

• Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
• Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
• Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
• Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g₁ любой её подгруппы G₁ является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.

Получение новых групп из уже известных

• В группе может существовать несколько подгрупп. Для определения их числа пользуются теоремой Лагранжа и теоремами Силова.
• Пусть дана группа G и её нормальная подгруппа H, тогда факторгруппа G/H есть множество смежных классов по H вместе с операцией умножения, которая корректно определяется по представителям: (gH)(hH)=(gh)H.
• Полупрямое произведение и, в частности,
  • Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂,h₁•h₂).
• Свободное произведение двух групп $G$ и $H$ есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих $G$ и $H$, a система соотношений есть объединение систем соотношений $G$ и $H$. Например, модулярная группа является свободным произведением $\Z_2$ и $\Z_3$.

Обобщения

• Группоид — группа без требования того, чтобы операция была определена для любых элементов.
• Полугруппа
• Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
• Квазигруппа

См. также

• Алгебраические структуры
• Словарь терминов теории групп
• Группа многогранника
• Группа Клейна

Популярная литература

• Александров П. С. Введение в теорию групп, выпуск 7 серии «Библиотечка Квант».
• Садовский Л., Аршинов М., Группы, Квант, №10, 1976.

Научная литература

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

af:Groep (wiskunde) ar:زمرة (رياضيات) az:Qrup anlayışı bg:Група (алгебра) ca:Grup (matemàtiques) cs:Grupa cy:Grŵp (mathemateg) da:Gruppe (matematik) el:Ομάδα eo:Grupo (algebro) et:Rühm (matemaatika) fa:گروه (ریاضی) he:חבורה (מבנה אלגברי) hr:Grupa (matematika) hu:Csoport id:Grup (matematika) is:Grúpa lt:Grupė (algebra) nl:Groep (wiskunde) no:Gruppe (matematikk) nov:Grupe (matematike) oc:Grop (matematicas) pl:Grupa (matematyka) sk:Grupa (matematika) sl:Grupa (matematika) sr:Група (математика) sv:Grupp (matematik) ta:குலம் (கணிதம்) th:กรุป (คณิตศาสตร์) uk:Група (математика) vls:Groep (algebra) zh-classical:群 (代數)