Викия

Математика

Группа

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Гру́ппа — в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.

Всем знакомые вещественные числа наделены сложением — операцией, обладающей некоторым набором свойств. Похожими свойствами обладают и многие другие из объектов, которые изучает математика, — например, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Теория групп занимается изучением взаимосвязей между этими свойствами в общем виде. Структура группы включается в различные другие алгебраические структуры, такие как поля, векторные пространства или группы Ли. Кроме того, группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях.

Определения Править

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией · : G \times G \to G называется группой (G, ·), если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: для любых a, b и c из G верно (a · b) · c = a · (b · c);
  2. наличие нейтрального элемента: в G существует элемент e такой, что для всех a из G справедливо e · a = a · e = a;
  3. наличие обратного элемента: для любого a из G найдётся элемент a-1 из G, называемый обратным, такой, что a · a-1 = a-1 · a = e.

КомментарииПравить

  • Заметим, что от группы не требуется свойства a · b = b · a (так называемой коммутативности).
    • Пары элементов, для которых это равенство выполнено, называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, для которой это равенство выполнено для произвольных элементов a, b из G, называется коммутативной, или абелевой.
  • В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:
Для любых a и b из G существуют единственные x и y из G такие, что: a · x = b и y · a = b.
  • Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (el · a = a) и левого обратного (a' · a = el) элементов. При этом они автоматически являются e и a-1:
e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow e_l \cdot e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow a' \cdot a \cdot e_l = a' \cdot a \Leftrightarrow a'' \cdot a' \cdot a \cdot e_l = a'' \cdot a' \cdot a \Leftrightarrow e_l \cdot a \cdot e_l = e_l \cdot a \Leftrightarrow a \cdot e_l = a;
a \cdot a' = e \cdot (a \cdot a') = (a'' \cdot a') \cdot (a \cdot a') = a'' \cdot (e \cdot a') = a'' \cdot a' = e.

Связанные определенияПравить

см. основую статью Словарь терминов теории групп.

  • Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
  • Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).
    • Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Примеры Править

  • Целые числа с операцией сложения. (\Z,+) группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.
  • Свободная группа с двумя образующими (F_2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем \epsilon (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a−1, b и b−1 таких, что a не появляется рядом с a−1 и b не появляется рядом с b<i>−1. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa−1, a−1a, bb−1 и b−1b.

Стандартные обозначения Править

Мультипликативная записьПравить

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применятеся мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают «a·b» или «ab»;
  • нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
  • обратный к a элемент записывается как «a−1».

Кратные произведения aa, aaa, … записывают в виде целых степеней a2, a3, …, причём (a-1)n = a-n, a0 = e.

Аддитивная записьПравить

В коммутативной группе определяющяя операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
  • обозначают нейтральный элемент «0» и называем его нулём;
  • обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
  • запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a - b;
  • выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, -2a, …

Простейшие свойства Править

  • Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
  • (a-1)-1</sub> = a, aman = am+n, (am)n = amn.
  • (ab)-1 = b-1a-1.
  • Верны законы сокращения:
c · a = c · b ⇔ a = b,
a · c = b · c ⇔ a = b.
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
  • Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
  • Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
  • Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.

Получение новых групп из уже известных Править

  • В группе может существовать несколько подгрупп. Для определения их числа пользуются теоремой Лагранжа и теоремами Силова.
  • Пусть дана группа G и её нормальная подгруппа H, тогда факторгруппа G/H есть множество смежных классов по H вместе с операцией умножения, которая корректно определяется по представителям: (gH)(hH)=(gh)H.
  • Полупрямое произведение и, в частности,
    • Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1h2).
  • Свободное произведение двух групп G и H есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих G и H, a система соотношений есть объединение систем соотношений G и H. Например, модулярная группа является свободным произведением \Z_2 и \Z_3.

ОбобщенияПравить

  • Группоид — группа без требования того, чтобы операция была определена для любых элементов.
  • Полугруппа
  • Множество G с заданной на нём бинарной операцией ·, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется моноидом. Таким образом, группа может быть определена как моноид, в котором каждый элемент обратим.
  • Квазигруппа

См. такжеПравить

Популярная литература Править

Научная литература Править

  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.af:Groep (wiskunde)

ar:زمرة (رياضيات) az:Qrup anlayışı bg:Група (алгебра) ca:Grup (matemàtiques) cs:Grupa cy:Grŵp (mathemateg) da:Gruppe (matematik) el:Ομάδαeo:Grupo (algebro)et:Rühm (matemaatika) fa:گروه (ریاضی)he:חבורה (מבנה אלגברי) hr:Grupa (matematika) hu:Csoport id:Grup (matematika) is:Grúpalt:Grupė (algebra) nl:Groep (wiskunde) no:Gruppe (matematikk) nov:Grupe (matematike) oc:Grop (matematicas) pl:Grupa (matematyka)sk:Grupa (matematika) sl:Grupa (matematika) sr:Група (математика) sv:Grupp (matematik) ta:குலம் (கணிதம்) th:กรุป (คณิตศาสตร์)uk:Група (математика) vls:Groep (algebra)zh-classical:群 (代數)

Викия-сеть

Случайная вики