Викия

Математика

Граница множества

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Грани́ца мно́жества в общей топологии — это такое множество, что его точки могут быть приближены как изнутри данного множества, так и снаружи.

Определение Править

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на X топология. Пусть A\subset X. Точка x_0\in X называется грани́чной то́чкой мно́жества A, если для любой её окрестности U\in \mathcal{T}, U\ni x_0 справедливо:

U \cap A \neq \emptyset,\; U \cap A^{\complement} \neq \emptyset.

Множество всех граничных точек множества A называется границей и обозначается \partial A.

Свойства Править

  • \partial A = \partial \left(A^{\complement}\right);
  • \partial A = \bar{A} \setminus A^0;
  • \partial Aзамкнутое множество;
  • Aоткрытое множество тогда и только тогда, когда A \cap \partial A = \emptyset;
  • A — замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A \subset A;
  • A — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A = \emptyset;
  • \partial \partial A \subset \partial A, причем равенство \partial \partial A = \partial A достигается тогда и только тогда, когда (\partial A)^0 = \emptyset;
  • \partial \partial \partial A = \partial \partial A.

Примеры Править

Рассмотрим числовую прямую \mathbb{R} со стандартной топологией. Тогда

  • \partial (a,b) = \partial (a,b] = \partial [a,b) = \{a,b\};
  • \partial \mathbb{R} = \emptyset;
  • \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}.

См. также Править

pl:Brzeg (matematyka)sv:Rand (geometri)

Викия-сеть

Случайная вики