Математика
Регистрация
Advertisement

Градиент (от , род. падеж gradientis — шагающий болт ) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , , , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если — функция n переменных , то её градиентом будет n-мерный вектор

,

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Градиент обозначается или, с использованием оператора набла, .

Из определения градиента следует, что:

Свойства[]

Для любого постоянного числа и скалярных полей справедливо следующее:

Линейность

Правило Лейбница

  • , где скалярное произведение векторов и .

Пример[]

Например, градиент функции будет представлять собой:

В физике[]

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Связь с производной по направлению[]

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть набор всех её частных производных.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах[]

,

где Hi - коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты[]

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

.

Сферические координаты[]

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

.

См. также[]


bg:Градиент cs:Gradient he:גרדיאנט nl:Gradiënt pl:Gradient (matematyka) sl:Gradient sv:Gradient uk:Градієнт

Advertisement