Викия

Математика

Градиент

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:Градиент холма.gif

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами \frac {\partial \phi} {\partial x}, \frac {\partial \phi} {\partial y}, \frac {\partial \phi} {\partial z}, где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если \phi — функция n переменных x_1,\ldots,x_n, то её градиентом будет n-мерный вектор

\left(\frac{\partial \phi}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial \phi}{\partial x_n}\right),

компоненты которого равны частным производным \phi по всем её аргументам.

Градиент обозначается \mathrm{grad}\phi или, с использованием оператора набла, \nabla \phi.

Из определения градиента следует, что:


\mathrm{grad}\phi = \nabla \phi = \frac {\partial \phi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \phi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \phi} {\partial z} \vec e_z

СвойстваПравить

Для любого постоянного числа c\in\R и скалярных полей \vec{u}, \vec{v}:\R^n\to\R справедливо следующее:

  • \operatorname{grad}\,c=\vec{0}

Линейность

  • \operatorname{grad}\,(c\cdot \vec{u})=c\cdot\operatorname{grad}\,\vec{u}
  • \operatorname{grad}\,(\vec{u}+\vec{v})=\operatorname{grad}\,\vec{u}+\operatorname{grad}\,\vec{v}

Правило Лейбница

Пример Править

Например, градиент функции \phi(x,y,z)=2x+3y^2-sin(z) будет представлять собой:

\nabla \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}},  
{\frac{\partial \phi}{\partial y}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2,} 
{ 6y,}
{ -cos(z)}
\end{pmatrix}

В физике Править

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Связь с производной по направлениюПравить

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции \phi по направлению \vec{e}=(e_1,\ldots,e_n) равняется скалярному произведению градиента \phi на единичный вектор \vec{e}:

 \frac{\partial \phi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \phi}{\partial x_1} e_1+\cdots+\frac{\partial \phi}{\partial x_n} e_n = (\nabla\!\phi,\vec e)

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть набор всех её частных производных.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах Править

\operatorname{grad} U(q_1, q_2, q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec i + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec j + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec k,

где Hi - коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{grad} U(r, \theta, z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec r + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec \theta + \frac{\partial U}{\partial z}\vec z.

Сферические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = r\sin{\theta} \end{matrix}.

Отсюда:

\operatorname{grad} U(r, \theta, \phi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec r + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \phi}\vec \phi + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\theta }\vec \theta.

См. также Править

cs:Gradienthe:גרדיאנטnl:Gradiënt pl:Gradient (matematyka)sl:Gradient sv:Gradient uk:Градієнт

Викия-сеть

Случайная вики