Градиент (от , род. падеж gradientis — шагающий болт ) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».
Как видно из объяснения, градиент является векторнойфункцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.
Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , , , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.
Если — функция n переменных , то её градиентом будет n-мерный вектор
,
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
Градиент обозначается или, с использованием оператора набла, .
Например, градиент функции будет представлять собой:
В физике[]
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.
Связь с производной по направлению[]
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что
производная функции по направлению равняется скалярному
произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать
градиент функции, то есть набор всех её частных производных.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах[]