ФЭНДОМ


Файл:Градиент холма.gif

Градиент (от , род. падеж gradientis — шагающий болт ) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами $ \frac {\partial \phi} {\partial x} $, $ \frac {\partial \phi} {\partial y} $, $ \frac {\partial \phi} {\partial z} $, где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если $ \phi $ — функция n переменных $ x_1,\ldots,x_n $, то её градиентом будет n-мерный вектор

$ \left(\frac{\partial \phi}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial \phi}{\partial x_n}\right) $,

компоненты которого равны частным производным $ \phi $ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $ \mathrm{grad}\phi $ или, с использованием оператора набла, $ \nabla \phi $.

Из определения градиента следует, что:

$ \mathrm{grad}\phi = \nabla \phi = \frac {\partial \phi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \phi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \phi} {\partial z} \vec e_z $

СвойстваПравить

Для любого постоянного числа $ c\in\R $ и скалярных полей $ \vec{u}, \vec{v}:\R^n\to\R $ справедливо следующее:

  • $ \operatorname{grad}\,c=\vec{0} $

Линейность

  • $ \operatorname{grad}\,(c\cdot \vec{u})=c\cdot\operatorname{grad}\,\vec{u} $
  • $ \operatorname{grad}\,(\vec{u}+\vec{v})=\operatorname{grad}\,\vec{u}+\operatorname{grad}\,\vec{v} $

Правило Лейбница

  • $ \operatorname{grad}\,(\vec{u}\cdot \vec{v}) = \vec{u}\cdot\operatorname{grad}\,\vec{v} + \vec{v}\cdot\operatorname{grad}\,\vec{u} $, где $ \vec{u}\cdot\vec{v} $скалярное произведение векторов $ \vec u $ и $ \vec v $.

Пример Править

Например, градиент функции $ \phi(x,y,z)=2x+3y^2-sin(z) $ будет представлять собой:

$ \nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2,} { 6y,} { -cos(z)} \end{pmatrix} $

В физике Править

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Связь с производной по направлениюПравить

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $ \phi $ по направлению $ \vec{e}=(e_1,\ldots,e_n) $ равняется скалярному произведению градиента $ \phi $ на единичный вектор $ \vec{e} $:

$ \frac{\partial \phi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \phi}{\partial x_1} e_1+\cdots+\frac{\partial \phi}{\partial x_n} e_n = (\nabla\!\phi,\vec e) $

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть набор всех её частных производных.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах Править

$ \operatorname{grad} U(q_1, q_2, q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec i + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec j + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec k $,

где Hi - коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

$ \begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix} $.

Отсюда:

$ \operatorname{grad} U(r, \theta, z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec r + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec \theta + \frac{\partial U}{\partial z}\vec z $.

Сферические координаты Править

Коэффициенты Ламе:

$ \begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = r\sin{\theta} \end{matrix} $.

Отсюда:

$ \operatorname{grad} U(r, \theta, \phi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec r + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \phi}\vec \phi + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\theta }\vec \theta $.

См. также Править

cs:Gradienthe:גרדיאנטnl:Gradiënt pl:Gradient (matematyka)sl:Gradient sv:Gradient uk:Градієнт