Викия

Математика

Гистограмма

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Гистограмма в математической статистике — это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него.

ОпределениеПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n,\ldotsвыборка из некоторого распределения. Определим разбиение числовой прямой -\infty < a_0<a_1< \cdots <a_{k-1}<a_k<\infty. Пусть

n_i = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{X_j \in (a_{i-1},a_i]\}},\; \quad i=1,\ldots,k

— число элементов выборки, попавших в i-й интервал. Тогда кусочно-постоянная функция \tilde{h}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, имеющая вид:

\tilde{h}(x) = n_i,\quad x \in (a_{i-1},a_i],\; i=1,\ldots, k,

называется гистограммой выборки X_1,\ldots,X_n. Функция h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, задаваемая равенством

h(x) = \frac{n_i}{n \, \Delta a_i} \quad x \in (a_{i-1},a_i],\; i=1,\ldots, k,

где \Delta a_i \equiv a_i - a_{i-1},\; i=1,\ldots, k, — называется нормализованной гистограммой.

ЗамечаниеПравить

Нормализованная гистограмма является плотностью вероятности. В частности,

  • h(x) \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}.
  • \int_{-\infty}^{\infty} h(x)\, dx = 1.

Гистограмма абсолютно непрерывного распределенияПравить

Пусть распределение случайных величин X_i абсолютно непрерывно, и задаётся плотностью вероятности f(x). Тогда

\forall x \in (a_{i-1},a_i],\quad h(x) \, \Delta a_i \equiv \frac{n_i}{n} \to \mathbb{P}(X \in (a_{i-1},a_i]) \equiv \int\limits_{a_{i-1}}^{a_i} f(x)\, dx,\quad i = 1,\ldots, k по вероятности при n \to \infty.

ЗамечаниеПравить

Таким образом площадь фигуры под нормализованной гистограмой, ограниченной интервалом (a_{i-1},a_i], приближается к вероятности принятия значений внутри этого интервала любой из случайных величин X_j. Однако, нормализованная гистограмма не сходится поточечно к теоретической плотности распределения этих случайных величин.

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики