Гистограмма

Гистограмма в математической статистике — это функция, приближающая плотность вероятности некоторого распределения, построенная на основе выборки из него.

Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ — выборка из некоторого распределения. Определим разбиение числовой прямой $-\infty < a_0<a_1< \cdots <a_{k-1}<a_k<\infty$. Пусть

$n_i = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{X_j \in (a_{i-1},a_i]\}},\; \quad i=1,\ldots,k$

— число элементов выборки, попавших в $i$-й интервал. Тогда кусочно-постоянная функция $\tilde{h}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, имеющая вид:

$\tilde{h}(x) = n_i,\quad x \in (a_{i-1},a_i],\; i=1,\ldots, k$,

называется гистограммой выборки $X_1,\ldots ,X_n$. Функция $h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, задаваемая равенством

$h(x) = \frac{n_i}{n \, \Delta a_i} \quad x \in (a_{i-1},a_i],\; i=1,\ldots, k$,

где $\Delta a_i \equiv a_i - a_{i-1},\; i=1,\ldots, k$, — называется нормализованной гистограммой.

Замечание

Нормализованная гистограмма является плотностью вероятности. В частности,

• $h(x) \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}$.
• $\int_{-\infty}^{\infty} h(x)\, dx = 1$.

Гистограмма абсолютно непрерывного распределения

Пусть распределение случайных величин $X_i$ абсолютно непрерывно, и задаётся плотностью вероятности $f(x)$. Тогда

$\forall x \in (a_{i-1},a_i],\quad h(x) \, \Delta a_i \equiv \frac{n_i}{n} \to \mathbb{P}(X \in (a_{i-1},a_i]) \equiv \int\limits_{a_{i-1}}^{a_i} f(x)\, dx,\quad i = 1,\ldots, k$ по вероятности при $n \to \infty$.

Замечание

Таким образом площадь фигуры под нормализованной гистограмой, ограниченной интервалом $(a_{i-1},a_i]$, приближается к вероятности принятия значений внутри этого интервала любой из случайных величин $X_j$. Однако, нормализованная гистограмма не сходится поточечно к теоретической плотности распределения этих случайных величин.

См. также

• Выборочная функция распределения.