Гипотеза Римана

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Функция $\zeta(s)$ определена для всех комплексных $s\ne 1$, и имеет нули для отрицательных целых $s=-2,-4,-6\dots$. Из функционального уравнения $\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$, и явного выражения $\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}$ при $\Re(s)>1$ следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе $0\le\Re(s)\le1$ симметрично относительно так называемой «критической линии» ${1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}$. Гипотеза Римана утверждает что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ${1 \over 2}$

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более 10¹³ первых решений. [1]

История

Как известно, не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных. Риман обнаружил, что число $\pi(x)$ простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.

В 1896 Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых $\Re(s)=0$ и $\Re(s)=1$.

В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1901 Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

$\pi(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln(t)} + O\left(\sqrt x\,\ln(x)\right)$ при $x\rightarrow\infty$

Вообще, многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

В 1914 Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».

Титчмарш, Ворос в 1987 показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Гипотеза Римана является одной из семи «проблем тысячелетия», за её доказательство Институт математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов. К рассмотрению принимаются решения, которые были опубликованы в известном математическом журнале, причём не ранее, чем через 2 года после публикации (для всестороннего рассмотрения математическим сообществом). http://www.claymath.org/millennium/

Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранж де Бурсиа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое позднее было опровергнуто: [2]

Интересные факты

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-то причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.

^{ar:فرضية ريمان bg:Хипотеза на Риман ca:Hipòtesi de Riemann he:השערת רימן hu:Riemann-sejtés lt:Rymano hipotezė nl:Riemann-hypothese pl:Hipoteza Riemanna sv:Riemannhypotesen}