Викия

Математика

Гипотеза Римана

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Функция \zeta(s) определена для всех комплексных s\ne 1, и имеет нули для отрицательных целых s=-2,-4,-6\dots. Из функционального уравнения \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s), и явного выражения \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s} при \Re(s)>1 следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе 0\le\Re(s)\le1 симметрично относительно так называемой «критической линии» {1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}. Гипотеза Римана утверждает что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную {1\over2}

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Большинство математиков верят, что гипотеза верна. На 2004 год проверены более 1013 первых решений. [1]

История Править

Как известно, не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных. Риман обнаружил, что число \pi(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.

В 1896 Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых \Re(s)=0 и \Re(s)=1.

В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1901 Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

\pi(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln(t)} + O\left(\sqrt x\,\ln(x)\right) при x\rightarrow\infty

Вообще, многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

В 1914 Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».

Титчмарш, Ворос в 1987 показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Гипотеза Римана является одной из семи «проблем тысячелетия», за её доказательство Институт математики Клея (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов. К рассмотрению принимаются решения, которые были опубликованы в известном математическом журнале, причём не ранее, чем через 2 года после публикации (для всестороннего рассмотрения математическим сообществом). http://www.claymath.org/millennium/

Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранж де Бурсиа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое позднее было опровергнуто: [2]

Интересные факты Править

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-то причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.

ar:فرضية ريمان bg:Хипотеза на Риман ca:Hipòtesi de Riemannhe:השערת רימן hu:Riemann-sejtéslt:Rymano hipotezė nl:Riemann-hypothese pl:Hipoteza Riemannasv:Riemannhypotesen

Викия-сеть

Случайная вики