ФЭНДОМ


Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение Править

Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png
Файл:Circle sincos.png

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:
$ \mathop{\mathrm{sh}}\,x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $ (в зарубежной литературе обозначается $ \sinh x $)

Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.

  • гиперболический косинус:
$ \mathop{\mathrm{ch}}\,x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $ (в зарубежной литературе обозначается $ \cosh x $)

Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.

  • гиперболический тангенс:
$ \mathop{\mathrm{th}}\,x=\frac{\mathop{\mathrm{sh}}\,x}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x} $ (в зарубежной литературе обозначается $ \tanh x $).

Существует сленговые названия: «щангенс», «тахинус». Однако их использование не научно.

Иногда также определяются

  • гиперболический котангенс:
$ \mathop{\mathrm{cth}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{th}}\,x} $,

Существует сленговые названия: «кочангенс», «кохинус». Однако их использование не научно.

  • гиперболические секанс и косеканс:
$ \mathop{\mathrm{sch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x} $,
$ \mathop{\mathrm{csch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\,x} $.


Геометрическое определение Править

Ввиду соотношения $ \mathop{\mathrm{ch}}^2t-\mathop{\mathrm{sh}}^2t=1 $ гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы $ x^2-y^2=1 $ ($ x=\mathop{\mathrm{ch}}\,t $, $ y=\mathop{\mathrm{sh}}\,t $). При этом аргумент $ t=2S $, где $ S $ — площадь криволинейного треугольника $ OQR $, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси $ OX $, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства Править

Связь с тригонометрическими функциями Править

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

$ \mathop{\mathrm{sh}}\,x=-i\sin(ix),\quad\mathop{\mathrm{ch}}\,x=\cos(ix),\quad\mathop{\mathrm{th}}\,x=-i\mathop{\mathrm{tg}}\,(ix) $.

Важные тождества Править

  1. $ \mathop{\mathrm{sh}}\,x+\mathop{\mathrm{ch}}\,x=e^x $
  2. $ \mathop{\mathrm{ch}}^2x-\mathop{\mathrm{sh}}^2x=1 $
  3. Чётность:
    1. $ \mathop{\mathrm{sh}}(-x)=-\mathop{\mathrm{sh}}\,x $
    2. $ \mathop{\mathrm{ch}}(-x)=\mathop{\mathrm{ch}}\,x $
    3. $ \mathop{\mathrm{th}}(-x)=-\mathop{\mathrm{th}}\,x $
  4. Формулы сложения:
    1. $ \mathop{\mathrm{sh}}(x+y)=\mathop{\mathrm{sh}}\,x\,\mathop{\mathrm{ch}}\,y+\mathop{\mathrm{sh}}\,y\,\mathop{\mathrm{ch}}\,x $
    2. $ \mathop{\mathrm{ch}}(x+y)=\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,\mathop{\mathrm{ch}}\,y+\mathop{\mathrm{sh}}\,y\,\mathop{\mathrm{sh}}\,x $
  5. Формулы двойного угла:
    1. $ \mathop{\mathrm{sh}}\,2x=2\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,\mathop{\mathrm{sh}}\,x=\frac{2\mathop{\mathrm{th}}\,x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x} $
    2. $ \mathop{\mathrm{ch}}\,2x=\mathop{\mathrm{ch}}^2x+\mathop{\mathrm{sh}}^2x=\frac{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x} $
    3. $ \mathop{\mathrm{th}}\,2x=\frac{2\mathop{\mathrm{th}}\,x}{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x} $
  1. Производные:
    1. $ (\mathop{\mathrm{sh}}\,x)^\prime=\mathop{\mathrm{ch}}\,x $
    2. $ (\mathop{\mathrm{ch}}\,x)^\prime=\mathop{\mathrm{sh}}\,x $
    3. $ (\mathop{\mathrm{th}}\,x)^\prime=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2x} $
    4. $ \mathop{\mathrm{sh}}\,x=\int^x_0\mathop{\mathrm{ch}}tdt $
    5. $ \mathop{\mathrm{ch}}\,x=1+\int^x_0\mathop{\mathrm{sh}}tdt $
    6. $ \mathop{\mathrm{th}}\,x=\int^x_0\frac{dt}{\mathop{\mathrm{ch}}^2t} $
  2. Интегралы:
    1. $ \int\mathop{\mathrm{sh}}\,x\,dx=\mathop{\mathrm{ch}}\,x+C $
    2. $ \int\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,dx=\mathop{\mathrm{sh}}\,x+C $
    3. $ \int\mathop{\mathrm{th}}\,x\,dx=\ln\mathop{\mathrm{ch}}\,x+C $
    4. $ \int\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2x}\,dx=\mathop{\mathrm{th}}\,x+C $
    5. $ \int\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}^2x}\,dx=-\mathop{\mathrm{cth}}\,x+C $

Разложение в степенные ряды Править

$ \mathop{\mathrm{sh}}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $
$ \mathop{\mathrm{ch}}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} $
$ \mathop{\mathrm{th}}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2} $
$ \mathop{\mathrm{cth}}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_nx^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi $ (Ряд Лорана)

Здесь $ B_n $ — числа Бернулли.

Графики Править

500px

Аналитические свойства Править

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках $ z=i\pi(n+1/2) $, где $ n $ — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек $ z=i\pi n $, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции Править

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

$ \mathop{\mathrm{Arsh}}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) $ — обратный гиперболический синус: $ \mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{Arsh}}\,x)=x $
$ \mathop{\mathrm{Arch}}\,x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1}) $ — обратный гиперболический косинус
$ \mathop{\mathrm{Arth}}\,x=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) $ — обратный гиперболический тангенс
$ \mathop{\mathrm{Arcth}}\,x=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) $ — обратный гиперболический котангенс
$ \mathop{\mathrm{Arsch}}\,x=\pm\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) $ — обратный гиперболический секанс
$ \mathop{\mathrm{Arcsch}}\,x=\left\{\begin{array}{l}\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x<0 \\ \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x>0\end{array}\right. $ — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

$ \mathop{\mathrm{Arsh}}\,x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1 $
$ \mathop{\mathrm{Arch}}\,x=\ln2-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln2-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1 $
$ \mathop{\mathrm{Arth}}\,x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1 $

История Править

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения $ \mathop{\mathrm{Sh}} $ и $ \mathop{\mathrm{Ch}} $. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения $ \mathop{\mathrm{sinhyp}} $, $ \mathop{\mathrm{coshyp}} $, в русскоязычной литературе закрепились обозначения $ \operatorname{sh}, \operatorname{ch} $, в англоязычной закрепились $ \sinh, \cosh $, .

Применение Править

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида $ \begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix} $ описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы $ \begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix} $ описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции $ y=\mathop{\mathrm{ch}}\,x $ (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Ссылки Править


cs:Hyperbolická funkcehe:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafallnl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperbolicznesr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion