Викия

Математика

Гиперболические функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение Править

Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png
Файл:Circle sincos.png

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:
\mathop{\mathrm{sh}}\,x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} (в зарубежной литературе обозначается \sinh x)

Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.

  • гиперболический косинус:
\mathop{\mathrm{ch}}\,x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} (в зарубежной литературе обозначается \cosh x)

Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.

  • гиперболический тангенс:
\mathop{\mathrm{th}}\,x=\frac{\mathop{\mathrm{sh}}\,x}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x} (в зарубежной литературе обозначается \tanh x).

Существует сленговое название: «щангенс». Однако их использование не научно.

Иногда также определяются

  • гиперболический котангенс:
\mathop{\mathrm{cth}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{th}}\,x},
  • гиперболические секанс и косеканс:
\mathop{\mathrm{sch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\,x},
\mathop{\mathrm{csch}}\,x=\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\,x}.


Геометрическое определение Править

Ввиду соотношения \mathop{\mathrm{ch}}^2t-\mathop{\mathrm{sh}}^2t=1 гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x^2-y^2=1 (x=\mathop{\mathrm{ch}}\,t, y=\mathop{\mathrm{sh}}\,t). При этом аргумент t=2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства Править

Связь с тригонометрическими функциями Править

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

\mathop{\mathrm{sh}}\,x=-i\sin(ix),\quad\mathop{\mathrm{ch}}\,x=\cos(ix),\quad\mathop{\mathrm{th}}\,x=-i\mathop{\mathrm{tg}}\,(ix).

Важные тождества Править

  1. \mathop{\mathrm{sh}}\,x+\mathop{\mathrm{ch}}\,x=e^x
  2. \mathop{\mathrm{ch}}^2x-\mathop{\mathrm{sh}}^2x=1
  3. Чётность:
    1. \mathop{\mathrm{sh}}(-x)=-\mathop{\mathrm{sh}}\,x
    2. \mathop{\mathrm{ch}}(-x)=\mathop{\mathrm{ch}}\,x
    3. \mathop{\mathrm{th}}(-x)=-\mathop{\mathrm{th}}\,x
  4. Формулы сложения:
    1. \mathop{\mathrm{sh}}(x+y)=\mathop{\mathrm{sh}}\,x\,\mathop{\mathrm{ch}}\,y+\mathop{\mathrm{sh}}\,y\,\mathop{\mathrm{ch}}\,x
    2. \mathop{\mathrm{ch}}(x+y)=\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,\mathop{\mathrm{ch}}\,y+\mathop{\mathrm{sh}}\,y\,\mathop{\mathrm{sh}}\,x
  5. Формулы двойного угла:
    1. \mathop{\mathrm{sh}}\,2x=2\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,\mathop{\mathrm{sh}}\,x=\frac{2\mathop{\mathrm{th}}\,x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x}
    2. \mathop{\mathrm{ch}}\,2x=\mathop{\mathrm{ch}}^2x+\mathop{\mathrm{sh}}^2x=\frac{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x}{1-\mathop{\mathrm{th}}^2x}
    3. \mathop{\mathrm{th}}\,2x=\frac{2\mathop{\mathrm{th}}\,x}{1+\mathop{\mathrm{th}}^2x}
  1. Производные:
    1. (\mathop{\mathrm{sh}}\,x)^\prime=\mathop{\mathrm{ch}}\,x
    2. (\mathop{\mathrm{ch}}\,x)^\prime=\mathop{\mathrm{sh}}\,x
    3. (\mathop{\mathrm{th}}\,x)^\prime=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2x}
    4. \mathop{\mathrm{sh}}\,x=\int^x_0\mathop{\mathrm{ch}}tdt
    5. \mathop{\mathrm{ch}}\,x=1+\int^x_0\mathop{\mathrm{sh}}tdt
    6. \mathop{\mathrm{th}}\,x=\int^x_0\frac{dt}{\mathop{\mathrm{ch}}^2t}
  2. Интегралы:
    1. \int\mathop{\mathrm{sh}}\,x\,dx=\mathop{\mathrm{ch}}\,x+C
    2. \int\mathop{\mathrm{ch}}\,x\,dx=\mathop{\mathrm{sh}}\,x+C
    3. \int\mathop{\mathrm{th}}\,x\,dx=\ln\mathop{\mathrm{ch}}\,x+C
    4. \int\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2x}\,dx=\mathop{\mathrm{th}}\,x+C
    5. \int\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}^2x}\,dx=-\mathop{\mathrm{cth}}\,x+C

Разложение в степенные ряды Править

\mathop{\mathrm{sh}}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\mathop{\mathrm{ch}}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\mathop{\mathrm{th}}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}
\mathop{\mathrm{cth}}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_nx^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi (Ряд Лорана)

Здесь B_n — числа Бернулли.

Графики Править

500px

Аналитические свойства Править

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z=i\pi(n+1/2), где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z=i\pi n, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции Править

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

\mathop{\mathrm{Arsh}}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) — обратный гиперболический синус: \mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{Arsh}}\,x)=x
\mathop{\mathrm{Arch}}\,x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1}) — обратный гиперболический косинус
\mathop{\mathrm{Arth}}\,x=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) — обратный гиперболический тангенс
\mathop{\mathrm{Arcth}}\,x=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) — обратный гиперболический котангенс
\mathop{\mathrm{Arsch}}\,x=\pm\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) — обратный гиперболический секанс
\mathop{\mathrm{Arcsch}}\,x=\left\{\begin{array}{l}\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x<0 \\ \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x>0\end{array}\right. — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

\mathop{\mathrm{Arsh}}\,x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1
\mathop{\mathrm{Arch}}\,x=\ln2-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln2-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1
\mathop{\mathrm{Arth}}\,x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1

История Править

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения \mathop{\mathrm{Sh}} и \mathop{\mathrm{Ch}}. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения \mathop{\mathrm{sinhyp}}, \mathop{\mathrm{coshyp}}, в русскоязычной литературе закрепились обозначения \operatorname{sh}, \operatorname{ch}, в англоязычной закрепились \sinh, \cosh, .

Применение Править

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида \begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix} описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы \begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix} описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции y=\mathop{\mathrm{ch}}\,x (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Ссылки Править


cs:Hyperbolická funkcehe:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafallnl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperbolicznesr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion

Викия-сеть

Случайная вики