Викия

Математика

Гильбертово пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ги́льбертово простра́нствобанахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением. Названо в честь математика Д. Гильберта.

Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства H среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:


(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).

Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством


(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.

Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством


(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+
i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2.

Наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства H, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с H, называется размерностью пространства H. Справедливо следующее утверждение:

Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности, любые два бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны друг другу и пространству \ell^2 (см. ниже). Гильбертово пространство/рамка

Примеры Править

Простейшим (но весьма важным) примером гильбертова пространства является пространство \ell_2. Его точки суть бесконечные последовательности действительных чисел x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, для которых сходится ряд \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n y_n.

Другим важным примером гильбертова пространства может служить пространство L_2[a,b] измеримых функций на отрезке [a,b] с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл

\int\limits_a^b |f|^2\,dx

определён и конечен. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

(f, g) = \int\limits_a^b f\overline{g}\,dx.

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Гильбертово пространство русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики