Викия

Математика

Гессиан функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма описывющая поведение функции во втором порядке.

Для функции f дважды дифференцируемой в точке x\in \R^n

H(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j

или

H(z) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} z_i \overline{z}_j

где a_{ij}=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j (или a_{ij}=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline{z}_j) и f(p) задана на n-мерном действительном пространстве \mathbf{R}^n (или комплексном пространстве \mathbf{C}^n) с координатами x_1,\ldots,x_n (или z_1,\ldots,z_n ). В обоих случаях гессиан — квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных.

Матрица Гессе Править

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\  \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}

Определитель этой матрицы также называется Гессианом.

Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации в методе Ньютона. Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квази-ньютоновы алгоритмы, основанные на приближенных выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный такой алгоритм — BFGS.

Симметрия Гессиана Править

Смешанные производные функции f — это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен (теорема Клеро), например

\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)

Это можно также записать как

f_{xy} = f_{yx} \,

Формально, если вторые частные производные f — непрерывные в области D функции, то матрица Гессе симметрична на D.

Критические точки функции Править

Если градиент f (её векторная производная) равен нулю в некоторой точке x, то эта точка называется критической. Достаточные условиея существования экстремума в этой точке является знакоопределённость Гессиана f, а именно:

  • если Гессиан положительно определён и не вырожден, то x — точка локального минимума функции f;
  • если Гессиан отрицательно определён и не вырожден, то x — точка локального максимума функции f;
  • если Гессиан принимает как положительные, так и отрицательные значения, то xседловая точка функции f;

Вариации и обобщения Править

Если f-векторнозначная функция, то есть

f = (f_1, f_2, \dots, f_n),

то её вторые частные производные образуют не матрицу, а тензор ранга 3.

ИсторияПравить

Понятие введено Гессе (1844) который использовал другое название. Термин «Гессиан» был введён Сильвестром.

См. также Править

Ссылки Править

  • Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчиления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, — 424 с. — ISBN 5-9221-0185-4


ca:Matriu Hessiana

cs:Hessova maticehe:מטריצת הסיאןnl:Hessiaan pl:Hesjansv:Hessian

Викия-сеть

Случайная вики