Геометрическое распределение

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Геометрическое распределение

Функция вероятности Файл:Geometricpdf.jpg
Функция распределения Файл:Geometriccdf.jpg
Параметры	- число «неудач» до первого «успеха» - вероятность «успеха» - вероятность «неудачи»
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана	N/A
Мода	0
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Геометрическое распределение в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Моменты 4 Свойства геометрического распределения 4.1 Отсутствие памяти 5 Связь с другими распределениями 6 Пример 7 См. также

[править] Определение

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины называется геометрическим с вероятностью «успеха» . Пишем: . Функция вероятности случайной величины имеет вид:

[править] Замечание

• Иногда полагают по определению, что — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму . В этом случае все формулы из таблицы справа должны быть модифицированы очевидным образом.
• Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

[править] Моменты

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

,

откуда

,

.

[править] Свойства геометрического распределения

• Из всех дискретных распределений с фиксированным средним геометрическое распределение является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
• Если независимы и , то

.

• Геометрическое распределение бесконечно делимо.

[править] Отсутствие памяти

Если , то , то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

[править] Связь с другими распределениями

• Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: .
• Если независимы и , то

.

[править] Пример

Пусть игральная кость вбрасывается до выпадания первой «шестёрки». Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх вбросов равна:

.

Ожидаемое число вбросов равно:

.

[править] См. также

• Биномиальное распределение.

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править

Эта статья содержит материал из статьи Геометрическое распределение русской Википедии.