Викия

Математика

Геометрическое распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Геометрическое распределение
Функция вероятности
325px
Функция распределения
325px
Параметры n \geq 0 - число «неудач» до первого «успеха»
0\leq p \leq 1 - вероятность «успеха»
q \equiv 1-p - вероятность «неудачи»
Носитель k \in \{0,1,2,\dots\}\!
Функция вероятности q^n p\!
Функция распределения 1-q^n\!
Математическое ожидание \frac{q}{p}
Медиана N/A
Мода 0
Дисперсия \frac{q}{p^2}
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \frac{p}{1-qe^t}
Характеристическая функция

Геометрическое распределение в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Определение Править

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.

Построим случайную величину Y = \min \left\{ i \mid X_i = 1 \right\} - 1 — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины Y называется геометрическим с вероятностью «успеха» p. Пишем: Y \sim \mathrm{Geom}(p). Функция вероятности случайной величины Y имеет вид:

\mathbb{P}(Y = n) = q^n p,\; n=0,1,2,\ldots

Замечание Править

  • Иногда полагают по определению, что Y — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму \mathbb{P}(Y = n) = q^{n-1} p. В этом случае все формулы из таблицы справа должны быть модифицированы очевидным образом.
  • Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты Править

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

M_Y(t) = \frac{p}{1-qe^t},

откуда

\mathbb{E}[Y] = \frac{q}{p},
\mathrm{D}[Y] = \frac{q}{p^2}.

Свойства геометрического распределения Править

  • Из всех дискретных распределений с фиксированным средним \mu >1 геометрическое распределение \mathrm{Geom}(1/\mu) является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
  • Если Y_1,\ldots, Y_n независимы и Y_i \sim \mathrm{Geom}(p_i),\; i=1,\ldots,n, то
Y = \min\limits_i (Y_i) \sim \mathrm{Geom}\left(1 - \prod\limits_{i=1}^n (1-p_i)\right).

Отсутствие памяти Править

Если Y\sim \mathrm{Geom}(p), то \mathbb{P}(X > m + n \mid X > m ) = \mathbb{P}(X>n)\;, \forall m,n \in \mathbb{N}\cup \{0\}, то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями Править

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p).

Пример Править

Пусть игральная кость вбрасывается до выпадания первой «шестёрки». Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх вбросов равна:

\mathbb{P}(Y \le 2) = \mathbb{P}(Y=0) + \mathbb{P}(Y = 1) + \mathbb{P}(Y=2)  = \left(\frac{5}{6}\right)^0 \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{6}\right) \approx 42\%.

Ожидаемое число вбросов равно:

\mathbb{E}[Y] + 1 = \frac{5/6}{1/6} + 1 = 6.

См. также Править

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править


Эта статья содержит материал из статьи Геометрическое распределение русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики