Гамма-распределение
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
| Плотность вероятности Файл:Gamma distribution pdf.png | |
| Функция распределения Файл:Gamma distribution cdf.png | |
| Параметры |  - коэффициент масштаба
|
| Носитель | 
|
| Плотность вероятности | 
|
| Функция распределения | 
|
| Математическое ожидание | 
|
| Медиана | |
| Мода |  , когда 
|
| Дисперсия | 
|
| Коэффициент асимметрии | 
|
| Коэффициент эксцесса | 
|
| Информационная энтропия |  
|
| Производящая функция моментов |  , когда 
|
| Характеристическая функция | 
|
Га́мма распреде́ление в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр 
принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.
Содержание |
[править] Определение
Пусть распределение случайной величины 
задаётся плотностью вероятности, имеющей вид
-
где функция 
имеет вид
и обладает следующими свойствами:
-
;
-
;
константы 
. Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и 
. Пишут 
.
Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвига.
[править] Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей гамма-распределение, имеют вид
-
,
-
.
[править] Свойства гамма-распределения
- Если
— независимые случайные величины, такие что 
, то
-
.
- Если
, и 
— произвольная константа, то
-
.
- Гамма-распределение бесконечно делимо.
[править] Связь с другими распределениями
- Экспоненциальное распределение является частным случае гамма-распределения:
-
.
- Если
— независимые экспоненциальные случайные величины, такие что 
, то
-
.
- Распределение хи-квадрат является частным случае гамма-распределения:
-
.
- Согласно центральной предельной теореме, при больших гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:
-
при 
.
- Если
— независимые случайные величины, такие что 
, то
- WikiTeX: latex reported a failure, namely:
This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4)
entering extended mode
(./e33ecf9c4f3de95b749434b51412d
LaTeX2e <2003/12/01>
Babel
l.5 ...on*}\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}
(k_1,k_2)\end{equation*}
[1] (./e33ecf9c4f3de95b749434b51412d.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on e33ecf9c4f3de95b749434b51412d.dvi (1 page, 460 bytes).
Transcript written on e33ecf9c4f3de95b749434b51412d.log..[править] Моделирование гамма-величин
Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.
Используя тот факт, что распределение 
совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то 
.
Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:
где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.
Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.
- Положить m равным 1.
- Сгенерировать
и 
— независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
- Если
, где 
, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
- Положить
. Перейти к шагу 6.
- Положить
.
- Если
, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
- Принять
за реализацию 
.
Подытожим:
где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui and Vl распределены как указано выше и попарно независимы.
| править | |||||||||||
