Викия

Математика

Гамма-распределение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Гамма-распределение
Плотность вероятности
Плотности гамма-распределений
Функция распределения
Функции гамма-распределений
Параметры k > 0,\,\theta > 0\, - коэффициент масштаба
Носитель x \in [0; \infty)\!
Плотность вероятности x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}
Функция распределения \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}
Математическое ожидание k \theta\,
Медиана
Мода (k-1) \theta\,, когда k \geq 1\,
Дисперсия k \theta^2\,
Коэффициент асимметрии \frac{2}{\sqrt{k}}
Коэффициент эксцесса \frac{6}{k}
Информационная энтропия k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,
+(1-k)\psi(k)\,
Производящая функция моментов (1 - \theta\,t)^{-k}, когда t < 1/\theta
Характеристическая функция (1 - \theta\,i\,t)^{-k}

Га́мма распреде́ление в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр k принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение Править

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

 f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right., где функция \Gamma (k) имеет вид

 \Gamma(k)=\int^\infty_0x^{k-1}e^{-x}dx
и обладает следующими свойствами:

  • \Gamma(k)=(k-1)\cdot\Gamma(k-1);
  • \Gamma(0{,}5)=\sqrt{\pi};

константы k,\theta > 0. Тогда говорят, что случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами k и \theta. Пишут X \thicksim \Gamma(k,\theta).

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвига.

Моменты Править

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей гамма-распределение, имеют вид

\mathbb{E}[X] = k\theta,
\mathrm{D}[X] = k \theta^2.

Свойства гамма-распределения Править

 Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta \right).
  • Если  X \thicksim \Gamma(k,\theta), и a > 0 — произвольная константа, то
 aX \thicksim \Gamma( k, a\theta).

Связь с другими распределениями Править

\Gamma(1,\theta) \equiv \mathrm{Exp}(\theta).
  • Если X_1,\ldots,X_k — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta),\; i = 1,\ldots, k, то
Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, \theta ).
\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right) \equiv \chi^2(n).
\Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2) при k \to \infty.
  • Если X_1,X_2 — независимые случайные величины, такие что X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2, то
\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2).

Моделирование гамма-величин Править

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение \Gamma (1, 1) совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то \ln U \sim \Gamma (1, 1).

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

 \sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (n, 1),

где Uiнезависимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

  1. Положить m равным 1.
  2. Сгенерировать V_{2m - 1} и V_{2m} — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
  3. Если V_{2m - 1} \le v_0, где v_0 = \frac e {e + \delta}, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
  4. Положить \xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1 \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}. Перейти к шагу 6.
  5. Положить \xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m}.
  6. Если \eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
  7. Принять \xi = \xi_m за реализацию \Gamma (\delta, 1).

Подытожим:

 \theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma (k, \theta),

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui and Vl распределены как указано выше и попарно независимы.

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править
hu:Gamma-eloszlásnl:Gamma-verdeling

sv:Gammafördelning

Викия-сеть

Случайная вики